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Permutationsmatrix

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, Permutationsmatrix

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20:46 Uhr, 08.11.2011

Hallo Leute,

folgende Aufgabe:

Wir nennen eine quadratische Matrix über einem Körper Permutationsmatrix, wenn sie in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine Eins und sonst nur Nullen enthält. Für jeden Körper

K

und jedes

n \in ℕ

sei

P (K^{n \cdot n}) := {A \in K^{n \cdot n} | A

ist eine Permutationsmatrix

}

.

Für jedes

π \in S_{n}

sei

A_{}

pi:=(a_ij)_(

1 \leq i, j \leq n)

mit a_ij:=

δ_{i} π_{(j)}

.
Offenbar ist

A_{π} \in P (K^{n \cdot n})

. Zeigen Sie, dass für alle

π, p \in S_{n}

gilt:

A_{π \cdot p} = A_{π} \cdot A_{p}

Bei delta_ij steht noch: 1 für

i = j, 0

sonst. (Kronecker-Delta)

Ich bräuchte hier mal dringend Hilfe, den ersten Teil mit der Permutationsmatrix ist verständlich, aber wie ich das unten beweisen, weiß ich überhaupt nicht, verstehe nichtmal, was von mir verlangt wird. Kann mir das mal jemand erklären?

Danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

20:57 Uhr, 08.11.2011

Hallo,

Matrizen multipliziert man ja, indem man die Zeilen der linken mit den Spalten der rechten Matrix multipliziert (Skalarprodukt). Damit müsste sich doch was machen lassen. Nur müsste man in jeder Zeile (links) bzw Spalte (rechts) rauskriegen, wo sich die 1 befindet.

Mfg Michael

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21:13 Uhr, 08.11.2011

Verstehe, man muss also rausfinden wo bei der Permutationsmatrix die Einsen stehen.

Will erstmal paar Begriffe abklären. Also erstmal geht es um die Matrix

A_{π}

A_{π} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... ... a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & ... ... a_{2 n} \\ a_{i 1} & a_{i 2} & ... ... a_{i n} \end{matrix})

Stelle ich mir die so richtig vor? Also

i

sind die Zeilen und

j

bzw.

n

sind die Spalten.

Aber was ist

A_{p},

ist das die Permutationsmatrix? Und für eine Bedeutung hat das Kronecker-Delta für die Aufgabe bzw. was genau kann ich mir darunter vorstellen?

michaL aktiv_icon

21:39 Uhr, 08.11.2011

Hallo,

keine gute Formalisierung bisher.

Man "adressiert" die Elemente einer Matrix ZUERST nach Zeile, dann nach Spalte. Soll heißen, das Element

a_{5 3}

befindet sich in der 5. Zeile und der 3. Spalte.

Weißt du denn, wie eine Permutationsmatrix aussieht (ohne auf die Definition zu schauen)?

Vielleicht solltest du erst einmal ein (kleines) Beispiel posten, an dem man Begrifflichkeiten erklären kann.

Mfg MIchael

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21:51 Uhr, 08.11.2011

Ne, weiß ich leider gar nicht, es gibt eben in jeder Spalte und Zeile, genau eine

1,

ist die Eineheitsmatrix nicht dadurch auch eine Permutationsmatrix?

Ein Beispiel wäre gut, um überhaupt die Aufgabe richtig zu verstehen. An was für ein Beispiel hast du da gedacht?

michaL aktiv_icon

21:59 Uhr, 08.11.2011

Hallo,

ja, die Einheitsmatrix ist eine Permutationsmatrix. Zu ihr gehört als Permutation die Identität.
Und, ja, Permutationsmatrizen enthalten in jeder Spalte und jeder Zeile genau eine 1.

Zeig mal ein Beispiel!

Mfg Michael

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22:12 Uhr, 08.11.2011

E = (\begin{matrix} 1,0,0 \\ 0,1,0 \\ 0,0,1 \end{matrix})

Wäre eben die Einheitsmatrix und eine Permutationsmatrix. Ansich muss die immer so aussehen, also die Permutationsmatrix, oder? Also auf der Diagonalen müssen immer die Einsen liegen oder?

michaL aktiv_icon

22:20 Uhr, 08.11.2011

Hallo,

hm, ja, daran "siehst" du nichts!

Mfg Michael

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22:40 Uhr, 08.11.2011

Ich steh wie immer auf dem Schlauch, dachte ich solle ein Beispiel für eine Permutationsmatrix posten.

Ok, ich nehme mal an:

A_{π} = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{matrix})

A_{p} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

A_{π \cdot p} = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{matrix})

Meintest du das mit Beispiel?

michaL aktiv_icon

22:43 Uhr, 08.11.2011

Hallo,

manno, du stellst dich aber an!

A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

Weißt du, welche Permutation zu

A

gehört?

Mfg Michael

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22:52 Uhr, 08.11.2011

Ja, ich stelle mich echt an, tut mir Leid. Wissen nicht, aber ich nehme an:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 9 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})

Das müssten sie gewesen sein oder?

michaL aktiv_icon

23:07 Uhr, 08.11.2011

Hallo,

ja, diese 6 gibt es bei 3x3-Matrizen. Gerade so viele, wie es Permutationen in der

S_{3}

gibt (3!=6).
Ordne doch mal diese 6 Permutationen der

S_{3}

den von dir angegebenen Matrizen zu!

Kann allerdings erst wieder morgen früh 'reinschauen.

Mfg Michael

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23:14 Uhr, 08.11.2011

Jetzt überfragst du mich wieder, welche von mir gegebenen Matrizen meinst du?

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18:01 Uhr, 09.11.2011

Verstehen würde ich es schon noch gerne...

michaL aktiv_icon

22:22 Uhr, 09.11.2011

Hallo,

hatte leider keine Zeit vorher.

Du hast in dem posting 22:52 Uhr, 08.11.2011 6 Matrizen angegeben. Zu jeder dieser Matrix gehört genau eine Permutation der

S_{3}

. Welche Permutation gehört zu welcher?

Mfg Michael

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22:45 Uhr, 09.11.2011

Jetzt gehts wieder los, Permutationen der

S 3

. Ich weiß konkret nicht, was es damit auf sich hat. Je weiter ichs versuche, desto mehr Fragen kommen auf, ich wälze mich am Wochenende erstmal durch mein Buch zur linearen Algebra und schaue dann weiter, es hat keinen Sinn, wenn ich hier weiter mache, das Übungsblatt geb ich so weit ab, wie ich es habe und fertig. Es kann nicht sein, dass ich mir alles erklären lassen muss. Ich danke dir für deine Hilfe und tut mir Leid, dass ich deine Zeit hiermit verschwendet habe.

michaL aktiv_icon

13:27 Uhr, 10.11.2011

Hallo,

tut mir leid.
Aber: Wenn eine Aufgabe mit Permutationsmatrix gestellt wird, dann muss doch irgendwo das Wort Permutation selbst mal aufgetaucht sein!? In der Übung vielleicht?

Mfg Michael

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