Permutationsmatrizen

${\displaystyle {\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bezeichnet die Mende der Permutationsmatrizen. Sei ${\displaystyle {\mathrm{\Psi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ die symmetrische Gruppe der Ordnung n und für ${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{\Psi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bezeichnet ${\displaystyle {\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\left({\mathrm{\delta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}\right)}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1,\mathrm{....},\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ die entsprechende Permutationsmatrix.

Zu zeigen ist:

(a) Die Abbildung ${\displaystyle \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathrm{\Psi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\to {\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist eine Bijektion.

(b) ${\displaystyle {\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot {\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\circ \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

(c) ${\displaystyle {\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}={\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}}={\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Meine Ansätze: <br id="elCustomTag8" /> ad (a): Muss ich hier zeigen, dass die Abbildung surjektiv und injektiv ist, aber was genau nehme ich dazu her? Ich kann mir unter der Abbildung wenig vorstellen.. muss ich da Permutationen hernehmen, die auf eine Permutationsmatrix abgebildet werden?!!

ad (b): Dabei geht es doch um die Multiplikation zweier Permutationsmatrizen oder? Und wenn ich das richtig verstehe, dann soll ich zeigen, dass diese Multiplikation das Gleiche ist, wie wenn ich die Permutationsmatrix der Verknüfung der beiden Permutationen bilde..Wie genau das aber gehen soll, ist mir nicht klar

ad (c): Da geht es um die Bildung der inversen Permutationsmatrix und die Aussage ist doch, dass diese Inverse gleich der transponierten Permutationsmatrix ist, oder? Auch hier habe ich aber leider keine Ahnung, wie ich das hinschreiben soll und ob ich es überhaupt richtig verstanden habe..

Würde mich sehr über Ideen und Hilfestellungen, wie ich das angehen könnte, freuen! Danke :)