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Picard Iteration

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichungssystem, Picard Iteration

Catsock aktiv_icon

10:15 Uhr, 06.12.2022

Hallo zusammen,
Ich habe mich an folgender Aufgabe versucht. Bin mir aber leider nicht sicher ob das so stimmt. Ich würde mich sehr über eure Meinung und Hinweise darüber freuen.
Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:18 Uhr, 06.12.2022

Hallo,

möglicherweise bist Du mit dem Interationsindex und der Variablen

t

durcheinander gekommen. Jedenfalls sagt die Aufgabe: Startwert ist

U_{0} (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

.

Gruß pwm

HAL9000

12:33 Uhr, 06.12.2022

So ist es.

@Catsock

Du machst den Fehler, nicht mit dem gegebenen

U_{0}

sondern mit der fertigen Lösung zu starten. Außerdem arbeitest du im ersten Summanden der Iterationsgleichung mit

U_{n} (t)

statt mit

U_{n} (0)

. :(

Hier mal die ersten zwei Schritte:

U_{1} (t) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) + \int_{0}^{t} (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \end{array}) d s = (\begin{array}{c} 1 \\ - t \end{array})

U_{2} (t) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) + \int_{0}^{t} (\begin{array}{c} - s \\ - 1 \end{array}) d s = (\begin{array}{c} 1 - \frac{t^{2}}{2} \\ - t \end{array})

usw. Was sich da ergibt, sind Stück für Stück die Taylorentwicklungen der Funktionen

\cos (t)

sowie

- \sin (t)

Punov aktiv_icon

12:36 Uhr, 06.12.2022

Hallo, Catsock!

Die Picard-Iteration verwendet man um die Lösung einer DGL zu approximieren, daher macht es wenig Sinn, wenn du die Lösung selbst hernimmst und für diese die Picard-Iterationen berechnest.

Die Aufgabe ist vielmehr so gemeint, dass du die ersten vier Iterierten

U_{k} (t), 1 \leq k \leq 4

für die DGL berechnest und dann schaust, ob das für

k \to \infty

tatsächlich die gegebene Lösung ergibt.

Mit anderen Worten: Du hast das System

\begin{array}{rcl} \dot{x} = & y \\ \dot{y} = & - x \end{array}

mit der Anfangsbedingung

x_{0} = 1, y_{0} = 0

gegeben und sollst jetzt die Picard-Iterationen

x_{k + 1} (t) = 1 + \int_{0}^{t} y_{k} (s) d s

y_{k + 1} (t) = - \int_{0}^{t} x_{k} (s) d s

bestimmen.

Es ergibt sich

x_{k} (t) = \sum_{i = 0}^{k - 1} (- 1)^{i} \frac{t^{2 i}}{(2 i)!}

y_{k} (t) = - \sum_{i = 0}^{k - 1} (- 1)^{i} \frac{t^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}

Viele Grüße

HAL9000

14:59 Uhr, 06.12.2022

@Punov

Mit den oberen Summenindizes liegst du etwas daneben: Wie man schon an den von mir einzeln angegebenen

U_{1}, U_{2}

erahnen kann, werden die Komponenten wechselseitig nur jedes zweite mal "upgedatet". D.h. eigentlich richtig wäre

x_{2 k} (t) = x_{2 k + 1} (t) = \sum_{i = 0}^{k} {(- 1)}^{i} \frac{t^{2 i}}{(2 i)!}

y_{2 k - 1} (t) = y_{2 k} (t) = - \sum_{i = 0}^{k - 1} {(- 1)}^{i} \frac{t^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}

Catsock aktiv_icon

08:59 Uhr, 07.12.2022

Habe die Aufgabe gelöst bekommen. Vielen Dank für Eure Hilfe! Grüße

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