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Picard Iteration

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichungssystem, Picard Iteration

 
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Catsock

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10:15 Uhr, 06.12.2022

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Hallo zusammen,
Ich habe mich an folgender Aufgabe versucht. Bin mir aber leider nicht sicher ob das so stimmt. Ich würde mich sehr über eure Meinung und Hinweise darüber freuen.
Grüße

A4

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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pwmeyer

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12:18 Uhr, 06.12.2022

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Hallo,

möglicherweise bist Du mit dem Interationsindex und der Variablen t durcheinander gekommen. Jedenfalls sagt die Aufgabe: Startwert ist U0(t)=(10).

Gruß pwm
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

12:33 Uhr, 06.12.2022

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So ist es.


@Catsock

Du machst den Fehler, nicht mit dem gegebenen U0 sondern mit der fertigen Lösung zu starten. Außerdem arbeitest du im ersten Summanden der Iterationsgleichung mit Un(t) statt mit Un(0). :(


Hier mal die ersten zwei Schritte:

U1(t)=(10)+0t(0-1)ds=(1-t)

U2(t)=(10)+0t(-s-1)ds=(1-t22-t)

usw. Was sich da ergibt, sind Stück für Stück die Taylorentwicklungen der Funktionen cos(t) sowie -sin(t).

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Punov

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12:36 Uhr, 06.12.2022

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Hallo, Catsock!

Die Picard-Iteration verwendet man um die Lösung einer DGL zu approximieren, daher macht es wenig Sinn, wenn du die Lösung selbst hernimmst und für diese die Picard-Iterationen berechnest.

Die Aufgabe ist vielmehr so gemeint, dass du die ersten vier Iterierten Uk(t),1k4 für die DGL berechnest und dann schaust, ob das für k tatsächlich die gegebene Lösung ergibt.

Mit anderen Worten: Du hast das System

x.=yy.=-x

mit der Anfangsbedingung x0=1,y0=0 gegeben und sollst jetzt die Picard-Iterationen

xk+1(t)=1+0tyk(s)ds

yk+1(t)=-0txk(s)ds

bestimmen.

Es ergibt sich

xk(t)=i=0k-1(-1)it2i(2i)!,

yk(t)=-i=0k-1(-1)it2i+1(2i+1)!


Viele Grüße
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:59 Uhr, 06.12.2022

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@Punov

Mit den oberen Summenindizes liegst du etwas daneben: Wie man schon an den von mir einzeln angegebenen U1,U2 erahnen kann, werden die Komponenten wechselseitig nur jedes zweite mal "upgedatet". D.h. eigentlich richtig wäre

x2k(t)=x2k+1(t)=i=0k(-1)it2i(2i)!

y2k-1(t)=y2k(t)=-i=0k-1(-1)it2i+1(2i+1)!

Frage beantwortet
Catsock

Catsock aktiv_icon

08:59 Uhr, 07.12.2022

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Habe die Aufgabe gelöst bekommen. Vielen Dank für Eure Hilfe! Grüße