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Picard-Lindelöf-Iteration

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Picard-Lindelöf

anonymous

18:38 Uhr, 22.04.2018

Hallo zusammen
Ich arbeite gerade an meinen Numerik Aufgaben und bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Der Satz von Picard und Lindelöf motiviert die folgende Iteration zur approximativen Lösung einer gewöhnlichen DGL

{\vec{y}}^{'} (t) = \vec{f} (t, \vec{y} (t))

mit Anfangsbedingung

\vec{y} (a) = {\vec{y}}_{0}

{\vec{y}}^{(0)} (t) := {\vec{y}}_{0}

{\vec{y}}^{(k + 1)} (t) := {\vec{y}}_{0} + \int_{a}^{t} \vec{f} (s, {\vec{y}}^{(k)} (s)) d s

\forall t \in [a, b]

k = 0, 1, . . .

Berechnen Sie die ersten Picard-Lindelöf-Iterierten

{\vec{y}}^{(0)}, {\vec{y}}^{(1)}, {\vec{y}}^{(2)}

zum Anfangswertproblem

{\vec{y}}^{'} (t) = (\begin{array}{rcl} \frac{2 y_{2} (t)}{t} \\ \frac{y_{1} (t)}{2 t} \end{array})

\forall t \in [3, \infty)

\vec{y} (3) = (\begin{array}{rcl} 6 \\ 3 \end{array})

Versuchen Sie mit Hilfe von

\frac{d}{d x} (l n (t))^{k + 1} = (k + 1) \frac{1}{t} (l n (t))^{k}

die exakte Lösung

\vec{y}

zu bestimmen.

\underline{A n s a t z} :

{\vec{y}}^{(0)}

und

{\vec{y}}^{(1)}

sind schnell ausgerechnet und

{\vec{y}}^{(2)}

ist dann schon etwas mehr Rechnung, aber nicht wirklich komplizierter. Benutze die obigen Formel mit dem Wissen

l n (a) - l n (b) = l n (\frac{a}{b})

und

(l n (a))^{n} = n \cdot l n (a)

{\vec{y}}^{(0)} = \vec{y} (3) = (\begin{array}{rcl} 6 \\ 3 \end{array})

{\vec{y}}^{(1)} = (\begin{array}{rcl} 6 + l n (\frac{t}{3})^{6} \\ 3 + l n (\frac{t}{3})^{3} \end{array})

{\vec{y}}^{(2)} = (\begin{array}{rcl} 6 \\ 3 \end{array}) + \int_{3}^{t} (\begin{array}{rcl} (2 \cdot l n (\frac{s}{3})^{3} + 6) \cdot \frac{1}{s} \\ (l n (\frac{s}{3})^{6} + 6) \cdot \frac{1}{2 s} \end{array}) d s = (\begin{array}{rcl} 6 + 3 (l n (t))^{2} - 3 (l n (3))^{2} + (6 - l n (27)) l n (\frac{t}{3}) \\ 3 + \frac{3}{2} (l n (t))^{2} - \frac{3}{2} (l n (3))^{2} + \frac{(6 - l n (27))}{2} l n (\frac{t}{3}) \end{array})

\underline{F r a g e} :

Jetzt ein paar Fragen

1)Sind

{\vec{y}}^{(0)}, {\vec{y}}^{(1)}

und

{\vec{y}}^{(2)}

so richtig sind oder hab ich mich verrechnet

2)Ich denke eine Gesetzmäßigkeit zu erkennen.

{\vec{y}}^{(1)}

enthält

{\vec{y}}^{(0)}

und

{\vec{y}}^{(2)}

enthält

{\vec{y}}^{(1)}

. Also könnte es sein, dass

{\vec{y}}^{(k)}

den Vorgänger

{\vec{y}}^{(k - 1)}

enthält usw.? Zudem ist der Zweite Eintrag

y_{2} (t) = \frac{y_{1} (t)}{2}

. Aber das ist alles irgendwie nicht allzu hilfreich um die exakte Lösung zu bestimmen. Jegliche Hilfe ist gerne gesehen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

18:18 Uhr, 26.04.2018

Für Leute die vielleicht noch an der Frage interessiert sind, hier ist die Lösung von ein paar Freunden und mir.

Zuerst haben wir die ersten vier Picard-Lindelöf-Iterierten

{\vec{y}}^{(0)}

{\vec{y}}^{(1)}

{\vec{y}}^{(2)}

und

{\vec{y}}^{(3)}

betrachtet und ein wenig umgeschrieben:

{\vec{y}}^{(0)} = (\binom{6}{3})

{\vec{y}}^{(1)} (t) = {\vec{y}}^{(0)} + (\binom{6 l n (t) - l n (3)}{3 (l n (t) - l n (3))})

{\vec{y}}^{(2)} (t) = {\vec{y}}^{(1)} (t) + \frac{1}{2} (\binom{6 (l n^{2} (t) - l n^{2} (3))}{3 (l n^{2} (t) - l n^{2} (3))}) - l n (3) (\binom{6 (l n (t) - l n (3))}{3 (l n (t) - l n (3))})

{\vec{y}}^{(3)} (t) = {\vec{y}}^{(2)} (t) + \frac{1}{6} (\binom{6 (l n^{3} (t) - l n^{3} (3))}{3 (l n^{3} (t) - l n^{3} (3))}) - \frac{l n (3)}{2} (\binom{6 (l n^{2} (t) - l n^{2} (3))}{3 (l n^{2} (t) - l n^{2} (3))}) + \frac{l n^{2} (3)}{2} (\binom{6 (l n^{2} (t) - l n^{2} (3))}{3 (l n (t) - l n (3))})

Daraus erkennt man nach langer Zeit und viel versuchen eine rekursive Darstellung:

{\vec{y}}^{(k)} (t) = {\vec{y}}^{(k - 1)} (t) + \sum_{j = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{j} \cdot l n^{j} (3)}{(k - j)! \cdot j!} \cdot (\binom{6 (l n^{k - j} (t) - l n^{k - j} (3))}{3 (l n^{k - j} (t) - l n^{k - j} (3))})

Also würde

\vec{y} (t)

so aussehen:

\vec{y} (t) = {\vec{y}}^{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{j = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{j} \cdot l n^{j} (3)}{(k - j)! \cdot j!} \cdot (l n^{k - j} (t) - l n^{k - j} (3)) (\binom{6}{3})

Wir haben auch mal nachgefragt und wie es aussieht kommt man in der Musterlösung auch auf eine rekursive Darstellung von

\vec{y} (t)

mit der exakten Lösung:

\vec{y} (t) = (\binom{2 t}{t})

Wie man darauf kommt und ob unsere Lösung falsch ist wird sich dann nächste Woche zeigen.

anonymous

18:23 Uhr, 26.04.2018

PS: Ich lasse die Frage mal noch für einen Tag offen, falls sich doch noch jemand findet der seine Gedanken mit mir teilen will.

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