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Picard Lindelöf ( globale Version)

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

JaBaa aktiv_icon

23:48 Uhr, 21.02.2021

Hall nochmal zur späten Stunde, schon wieder brauche ich Hilfe:

Es sei

f : [0,1] \times ℝ \to ℝ

gegeben durch

f (t, y) = {sin}^{2} (t \cdot y) + t

. Zeigen sie, dass das Anfangswertproblem

y^{'} (t) = f (t, y (t)), t \in [0,1]

y (0) = 0,

auf

[0,1]

eine eindeutige globale Lösung besitzt und dass für die Lösung die Abschätzung

\frac{1}{2} \cdot t^{2} \leq y \leq \frac{1}{2} t^{2} + t, t \in [0,1],

gilt

Also die Ungleichung unten ist einfach, ich betrachte einfach die Ableitungen von dem was links und rechts steht.

Es ist einfach zu zeigen, dass

t \leq {sin}^{2} (t \cdot y) + t \leq t + 1

für

t \in [0,1]

Ich komme aber zu nicht bei der oberen Aufgabe mit der eindeutigen globalen Lösung, dafür wollte ich die globale Version des Satzes von Picard Lindelöf nutzen. Dafür brauche ich eine globale Lipschitzbedingung.

Also ich muss nur zeigen:

| f (t, y) - f (t, x) | \leq L | y - x |

für ein

L \geq 0

für

t \in [0,1]

Ich habe folgendes gemacht

| f (t, y) - f (t, x) | = | {sin}^{2} (t \cdot y) + t - {sin}^{2} (t \cdot x) - t | = | {sin}^{2} (t \cdot y) - {sin}^{2} (t \cdot x) |

= | (sin (t \cdot y) + sin (t \cdot x)) \cdot (sin (t \cdot y) - sin (t \cdot x)) |

ab hier komme ich nicht weiter

Ich weiß nicht wie ich dort ein

| y - x |

herausbekommen kann.

Über jeden Rat wäre ich dankbar, vielleicht geht es auch gar nicht über Picard ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:40 Uhr, 22.02.2021

Nutze den Mittelwertsatz.

JaBaa aktiv_icon

09:06 Uhr, 22.02.2021

Okay mist den hatte ich nicht mehr auf dem Schirm. Also ich schätze folgendermaßen:

| \frac{f (t, y) - f (t, x)}{y - x} | = | {f (t, z_{0})}^{'} | \Leftrightarrow | {sin (t \cdot y)}^{2} - {sin (t \cdot x)}^{2} | = | {f (t, z_{0})}^{'} | \cdot | y - x |

offensichtlich ist

| {f (t, z_{0})}^{'} |

beschränkt und damit gilt mit

| {f (t, z_{0})}^{'} | < L

| {f (t, z_{0})}^{'} | \cdot | y - x | \leq L \cdot | y - x |

.

Ich habe noch eine Frage, könnte man theoretisch auch einfach die Ableitung nach

x

für

f (t, x) = {sin (t \cdot x)}^{2} + t

. betrachten ?

Die Ableitung wäre

t \cdot cos (t \cdot x) \cdot sin (t \cdot x) + t \cdot cos (t \cdot x) \cdot sin (t \cdot x) = 2 \cdot t \cdot cos (t \cdot x) \cdot sin (t \cdot x) \leq 2 + 1 = 3

wegen

t \in [0,1]

. Damit könnteich

L = 3

wählen und bräuchte auch nicht den Mittelwertsatz oder habe ich etwas nicht beachtet ?

DrBoogie aktiv_icon

09:36 Uhr, 22.02.2021

"Ich habe noch eine Frage, könnte man theoretisch auch einfach die Ableitung nach x für f(t,x)=sin(t⋅x)2+t. betrachten ?"

Und wozu?
Du musst

f (t, x) - f (t, y)

abschätzen, das geht direkt mit dem Mittelwertsatz, wozu man dann auch die Ableitung braucht. Wie du jetzt ohne auskommen willst, verstehe ich nicht.

JaBaa aktiv_icon

09:49 Uhr, 22.02.2021

Naja zu meinem Gedankengang der wohlmöglich falsch ist:

Wenn meine Ableitung für alle

x

(und hier auch

t)

kleiner als ein bestimmter Wert

L

ist, dann würde es doch einer globalen Lipschitzbedingung genügen oder habe ich hier einen Denkfehler :-) . Damit hätten alle möglichen Sekanten von

f (t, y)

eine Steigung, welche kleiner als

L

ist und damit würde dies einer Lipschitzbedingung genügen.

Aber ist auch nicht so wichtig für die Aufgabe ( also für mich schon

),

du hast mir ja schon die Lösung gesagt :-) .

Also vielen Dank

!!!

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