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Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Iterationsverfahren, Lindelöf, Picard

Jenjenjen aktiv_icon

21:02 Uhr, 15.04.2009

Hallo ihr,

ich habe eine Frage zum Picard-Lindelöfschen Iterationsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung. Ich habe davon heute morgen in der Vorlesung zum ersten mal gehört und irgendwie hat sich das auch sehr verständlich angehört. Wir haben zum Iterieren folgenden Satz aufgeschrieben:

Wenn

f

stetig partiell nach

y

differenzierbar ist, so erhält man die maximale Lösung durch einen Punkt von

G

durch das Picard-Lindelöfsche Iterationsverfahren:
Sei

(x_{0}, y_{0})

{

element} G.

Definiere Funktionen

ψ_{k}, k

{

element}

ℕ

durch

1) ψ_{0} (x) = y_{0}

2) ψ_{k + 1} (x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x} f (t, ψ_{k} (t)) d t, k

{

element}

ℕ

Bei dem Beispiel für die Differenztialgleichung

y' = y

mit dem Anfangswertproblem

y_{0} = 1

haben wir in der Klammer im Integral einfach 1 eingesetzt. Warum geht das? Immerhin steht in der Gleichung ja

y!!!

Jetzt haben wir als Übungsaufgabe auf, das ganze für
y'=2xy mit

y (0) = c

{

element}

ℝ

aufbekommen und ich weiß leider nicht, was ich für das

f (t, ψ_{k} (t))

in der Formel einsetzen soll, immerhin muss ich ja eine der beiden Variablen loswerden. Kann mir jemand dabei helfen?

Vielen Dank im Voraus,
Jenni

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