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Poincare-Ungleichung

Universität / Fachhochschule

14:54 Uhr, 03.01.2015

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei L > 0. Zeigen sie: Für eine stetig differenzierbare Funktion

f : [0, L] \to ℝ

mit f(0)=f(L)=0 gilt

\int_{0}^{L} ∣ f (x) ∣^{2} d x \leq \frac{L^{2}}{π^{2}} \int_{0}^{L} ∣ f ʹ (x) ∣^{2} d x

.
Betrachten sie dazu zunächst den Fall

L = π

und zeigen sie die Ungleichung auf dem Intervall

[- π, π]

für die Funktion:
g(x)= f(x) für

x \in [0, π]

, -f(-x) für

x \in [- π, 0] .

Viele Grüße

10:02 Uhr, 05.01.2015

Nutze

f (x) = f (x) - f (0) = \int_{0}^{x} f^{ʹ} (t) d t

und

\int_{0}^{x} f^{ʹ} (t) d t = \int_{0}^{x} f^{ʹ} (t) \cdot 1 d t \leq \sqrt{\int_{0}^{x} f^{ʹ} (t)^{2} d t} \cdot \sqrt{\int_{0}^{x} d t} = \sqrt{x} \sqrt{\int_{0}^{x} f^{ʹ} (t)^{2} d t}

(das ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung).

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