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Polares Trägheitsmoment, Umformung

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Tags: Allgemein, Maschinenbau, Schrauben, Speziell, umformung

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12:27 Uhr, 11.09.2018

Problem: Berechnung des polaren Trägheitsmomentes bei der Anordnung von Schrauben.

Es gibt für das polare Trägheitsmoment die allgemeine Formel

Ip = ∑(x²

+

y²)

mit

x =

horizontaler Abstand einer Schraube zum Schwerpunkt

y =

vertikaler Abtsand einer Schraube zum Schwerpunkt

, welche für alle Schraubenbilder gilt.

Weiterhin gibt es die Formel (für beliebig viele

n_{x}

und

n_{y},

jedoch nur für regelmäßige Abstände)

Ip

= (\frac{n}{12}) \cdot

((n_x²-1)*Δ_x²+(n_y²-1)*Δy²)

mit

n =

Anzahl der Schrauben

n_{x} =

Anzahl der Spalten

d x =

horizontaler Abstand der Spalten

n_{y} =

Anzahl der Reihen

d y =

vertikaler Abstand der Reihen

Kann mir jemand helfen die Umformung der allgemeinen Formel zu machen?

Grüße

Ein verzweifelter Ingenieur

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

14:34 Uhr, 11.09.2018

Hallo
Zur eindeutigeren Abstimmung: Es handelt sich um eine rechteckig (tabellarische) Schraubanordnung von

n = n_{x} \cdot n_{y}

Schrauben mit

> n_{x}

Spalten, die den regelmäßigen Abstand

Δ x

haben,

> n_{y}

Zeilen, die den regelmäßigen Abstand

Δ y

haben,

>

und dem Schwerpunkt eben in deren Anordnungs-Mitte.

Ich habe mir naheliegenderweise "x" in waagrechter Richtung und "y" in senkrechter Richtung vorgestellt.
Und ich habe mich erstmal auf sumx^2 konzentriert:

I_p

= \sum (x^{2} + y^{2}) = \sum (x^{2}) + \sum (y^{2})

Es sind jeweils

n_{y}

Schrauben übereinander angeordnet, daher:
I_p

= n_{y} \cdot \sum (x_{j}^{2}) + \sum (y^{2})

Schauen wir uns diese

\sum (x_{j}^{2})

mal näher an:

1 .)

Annahme, nur eine Spalte an Schrauben,

n_{x} = 1

Alle Schrauben sind auf der Schwerpunktkoordinate,

d . h

\sum (x_{j}^{2}) = 0

2 .)

Annahme, zwei Spalten:

n_{x} = 2

Die einen Schrauben sind

\frac{d_{x}}{2}

links des Schwerpunkts, die anderen Schrauben

\frac{d_{x}}{2}

rechts des Schwerpunkts:

\sum (x_{j}^{2}) = {(- \frac{d x}{2})}^{2} + {(\frac{d x}{2})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot {d x}^{2}

3 .)

Annahme, drei Spalten:

n_{x} = 3

\sum (x_{j}^{2}) = {(- d x)}^{2} + {(0)}^{2} + {(d x)}^{2} = 2 \cdot {d x}^{2}

4 .)

Annahme, vier Spalten:

n_{x} = 4

\sum (x_{j}^{2}) = {(- 1.5 \cdot d x)}^{2} + {(- 0.5 \cdot d x)}^{2} + {(0.5 \cdot d x)}^{2} + {(1.5 \cdot d x)}^{2} = 5 \cdot {d x}^{2}

n .)

Das kann man sich so weiter reimen,

z . B . :

n_{x}; \frac{\sum (x_{j}^{2})}{{d x}^{2}}

1; 0

2; 0.5

3; 2

4; 5

5; 10

6; 17.5

7; 28

8; 42

9; 60

10; 82.5

. .

.

Und früher oder später kommt man auf den regulären Zusammenhang:
Für

n_{x}

Spalten beträgt:

\sum (x_{j}^{2}) = \frac{n_{x}}{12} \cdot (n_{x} - 1) \cdot (n_{x} + 1) \cdot {d x}^{2}

Puristen fragen jetzt nach einem Beweis. Wer beweisen will, möge beweisen. Ich ahne, vollständige Induktion (ggf. der Satz von Steiner) könnte Wege bieten...
Du müsstest eben noch signalisieren, wie puristisch Schulbuch-mässig du das brauchst, oder wie pragmatisch vertrauend genügt.

Zusammenfassend:
I_p

= n_{y} \cdot \frac{n_{x}}{12} \cdot (n_{x} - 1) \cdot (n_{x} + 1) \cdot {d x}^{2} + \sum (y^{2})

Aus Symmetriegründen wird das selbe auch für die

\sum (y^{2})

gelten, natürlich mit vertauschten Indizes:
I_p

= n_{y} \cdot \frac{n_{x}}{12} \cdot (n_{x} - 1) \cdot (n_{x} + 1) \cdot {d x}^{2} + n_{x} \cdot \frac{n_{y}}{12} \cdot (n_{y} - 1) \cdot (n_{y} + 1) \cdot {d y}^{2}

I_p

= \frac{n_{x} \cdot n_{y}}{12} \cdot [(n_{x} - 1) \cdot (n_{x} + 1) \cdot {d x}^{2} + (n_{y} - 1) \cdot (n_{y} + 1) \cdot {d y}^{2}]

I_p

= \frac{n}{12} \cdot [(n_{x} - 1) \cdot (n_{x} + 1) \cdot {d x}^{2} + (n_{y} - 1) \cdot (n_{y} + 1) \cdot {d y}^{2}]

Maschibau aktiv_icon

15:01 Uhr, 11.09.2018

Hey das sieht ja schon echt gut aus!

Ich glaub, wenn ich mir das zugetraut hätte, wäre ich vl. auch soweit gekommen. Die Umformung benötige ich für meine Abschlussarbeit, ich glaube aber mein Professor gibt sich mit dem Verfahren zufrieden.

Wenn noch einer die Steiner-Formel hier einbauen kann wäre super, aber ich bin jetzt schon sehr zufrieden.

Vielen Dank!!

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