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Polarform in Normalform umwandeln Winkel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Komplexe Zahlen

vasmer

18:23 Uhr, 21.09.2015

Hi

Wie muss man genau bei der Umwandlung von komplexen Zahlen von Normalform in Polarform vorgehen? Was mach ich falsch?

Beispielaufgabe:
Wandle die folgenden Ausdrücke in Polaform um

c) - 2 - 2 i

z=r*cis(phi)=

r = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}

φ = tan (\frac{x}{y})

φ = cos (\frac{x}{r})

φ = sin (\frac{y}{r})

daraus folgt phi=-45°
und z=sqrt(8)cis(-45°) statt sqrt(8)cis(225°)

Das gleiche Resultat ergibt sich auch bei komplexen Zahlen mit folgender Normalform:

- 2 + 2 i, 2 - i

Was mach ich falsch?

thx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

18:36 Uhr, 21.09.2015

tan φ = \frac{- 2}{- 2} = 1 \Rightarrow

phi=45°, 225°

cos φ = \frac{- 2}{\sqrt{8}} \Rightarrow

phi=135°, 225°

sin φ = \frac{- 2}{\sqrt{8}} \Rightarrow

phi=225°, 315°

Stephan4

23:46 Uhr, 21.09.2015

Hast Du

' s

geschnallt?

vasmer

07:00 Uhr, 22.09.2015

Danke, muss man nicht einfach beachte, in welchem Sektor der komplexen Zahleneebene die komplexe Zahl liegt. In den Sektoren 2 und 3 addiert man zur komplexen Zahl beim

φ

180°, nud im Sektor 3 addiert man 360°.

Respon

07:23 Uhr, 22.09.2015

Die Angabe zeigt dir ja sofort, in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt.

Es ist daher leicht, von den zwei möglichen Argumenten das "richtige" zu finden.
Und bessere bei Gelegenheit die unrichtigen Formeln ganz oben aus.

Stephan4

07:37 Uhr, 22.09.2015

Nein, so kann man nicht die anderen Lösungen bestimmen, aber so ähnlich.
360° kann man immer addieren, das ändert nichts, aber bei den anderen Winkeln muss man anders vorgehen:
Sieh Dir mal am Einheitskreis an, wo man den Sinus, Cosinus und Tangens ablesen kann. Nimm dazu aber einen kleinen Winkel,

z . B

10

Grad, da kann man es deutlicher erkennen, dass zB

[1] sin

350°

= sin

190°.

Natürlich, wenn Du 360° oder ein ganzzahliges Vielfaches davon zu einem Winkel addierst oder subtrahierst, kommst Du zum selben Ergebnis. Zum Beispiel:

[2] sin

2°

= sin

362°

= sin

3602°

weil

[3] 2 G r a d = 362 G r a d = 3602 G r a d

Klar?

vasmer

08:06 Uhr, 22.09.2015

Danke, ich verste es nicht so ganz, also muss man wenn die komplexe Zahl in den Sektoren 1 und 4 liegt, nicht zum Winkel

φ

addieren(warum muss man im 4. Sektor keinen Winkel dazu addieren zu phi?), jedoch in den Sektoren 2 und 3 180°? Und die richtige Lösung für

2 - 2 i

ist 225°?

Stephan4

08:15 Uhr, 22.09.2015

Gegenfrage:
Was hast Du am Einheitskreis abgelesen?
Darum kommst Du nicht herum.

vasmer

12:11 Uhr, 22.09.2015

Danke, ich versteh nicht ganz die Frage, Wenn man einen negativen WInkel hat, ist man unter der x-Achse, durch Addition erhält man einen Winkel grösser gleich 0.

Roman-22

04:27 Uhr, 23.09.2015

Die "Regel" mit zweiter und dritter Quadrant und +180° hast du schon irgendwie richtig.

Machs dir doch einfacher:

Ist

x > 0

nimmst du

φ = a r c tan (\frac{y}{x})

und das wars.

φ = - 30^{\circ}

ist doch genau so brauchbar wie

φ = 330^{\circ}

. Wenn aber unbedingt

φ > 0

gelten soll (wozu eigentlich), dann zählst du eben bei negativem Winkel (wie du richtig schreibst also im vierten Quadranten) noch

360^{\circ}

zum TR-Wert dazu - find ich aber, wie gesagt, völlig unnötig.

Ist

x < 0

musst du zum TR-Wert von

a r c tan (\frac{y}{x})

noch

180^{\circ}

(oder im Bogenmaß eben

π)

addieren (oder wahlweise auch subtrahieren).

Bleibt noch der Fall

x = 0

mit den Möglichkeiten

+ 90^{\circ} (y > 0), - 90^{\circ}

(oder

270^{\circ}) (y < 0)

und undefiniert

(x = y = 0)

.

Aber letztlich haben doch auch die billigsten Taschenrechner eine Umrechnungsfunktion Kartesisch

\Leftrightarrow

Polar, die schnell auf Knopfdruck

(x, y) \Leftrightarrow (r, φ)

rechnet und die Quadrantenlage richtig berücksichtigt. Warum also so mühsam?

R

Stephan4

22:25 Uhr, 23.09.2015

Kargar, addiere zu einem negativen Winkel 360°. Der Winkel bleibt der selbe.

- 3

Grad

= 357

Grad
Nochmals: Sieh Dir den Einheitskreis an!

Roman-22

23:23 Uhr, 23.09.2015

>

Kargar, addiere zu einem negativen Winkel 360°. Der Winkel bleibt der selbe.

> - 3

Grad

= 357

Grad
Um Gottes Willen - NEIN!!!
Der Winkel bleibt selbstverständlich nicht der selbe und auch nicht der gleiche!
Und -3°

\neq

357° !

Aber diese unterschiedlichen Winkel führen zum gleichen komplexen Zeiger. Die Darstellung mit Betrag und Phase ist eben nicht eindeutig.

R

Stephan4

23:52 Uhr, 23.09.2015

OK, sind nicht gleich, aber der

sin, cos

und tan dieser Winkel sind gleich.

Und natürlich der komplexe Zeiger.

Sorry.

vasmer

19:29 Uhr, 14.10.2015

Vielen Dank, das mit der Umrechnung kartesisch-polar durch den Taschenrechner kannte ich noch garnicht, aber ich verstehe es auch so(durch die Erklärung) jetzt.

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