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Polinomdivision erklären

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Polinomdivision

malaika aktiv_icon

15:09 Uhr, 04.10.2009

Hallo,

ich habe leider in der Matheunterrichtsstunde gefehlt, in der die Polinomdivision erklärt wurde. Nun haben wir eine Hausaufgabe dazu auf und ich werde aus meinen Mathebüchern nicht schlau.

Im Unterricht wurde die Polinomdivision anhand der Funktion

f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1

erklärt.

Könnt ihr mir die Polinomdivision vielleicht anhand dieses Beispiels erklären?

Ich weiß nur, dass es etwas mit den Nullstellen zu tun hat, also würd ich die Funktion mit 0 gleichsetzten?

Also

3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

Weiter wüsste ich jetzt nicht.

Ich freue mich über Antworten! :-)

Lg, Hannah

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

count88 aktiv_icon

16:10 Uhr, 04.10.2009

Hallo Malika...

also eine Polynomdivision ist sehr hilfreich bei der Berechnung von Nullstellen bei Polynomen größer zweiter Ordnung, also überall wo ein

x^{3}, x^{4},

usw. vorkommt. Weil wird dort zum Beispiel mit der p/q-Formel nicht arbeiten kann.

So nehmen wir mal dein Beispiel:

3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1 = 0

Dieses Polynom dritter Ordnung (wegen

x^{3})

kann maximal drei Nullstellen haben.

Vorgehensweise:
1. Nullstelle erraten, in den häufigsten Fällen

- 2, - 1,0,1

oder 2:

x_{1} = 1

würde passen, den

3 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 1 = 0

. Das heißt wir haben eine Nullstelle schon raus.

2. eigentliche Polynomdivision:
Man teilt nun durch einen lineare Faktor

(\in

unserem Fall (x-1)),um so aus dem Polynom dritter Ordnung ein Polynom zweiter Ordnung zu machen.

3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1 : (x - 1) =

1.Schritt:

3 x^{3}

geteilt durch

x

3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1 : (x - 1) = 3 x^{2}

2.Schritt: Rückmultiplikation von

3 x^{2}

mit

(x - 1)

und Subtraktion vom Polynom

3 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 1 : (x - 1) = 3 x^{2}

- (3 x^{3} - 3 x^{2})

- - -

5 x^{2} - 4 x - 1 : (x - 1) = 3 x^{2}

Bei Schritt 1 wieder anfangen diesmal beim zweiten Polynom, usw.

Schließlich erhalten wir:

3 x^{2} + 5 x + 1

dieses kann dann weiter mit der p/q-Formel berechnet werden.
so das wir am Ende folgende Nullstellen haben:

x_{1} = 1, x_{2} = - 1,4342, x_{3} = - 0,2324

Informatiker88 aktiv_icon

13:59 Uhr, 13.10.2009

hallo,

soweit habe ich deine Antwort sehr gut nachvollziehen können und auch bereits eine Aufgabe gelöst.
Doch bereits bei der zweiten Aufgabe stehe ich vor einem Problem. Nun soll eine Funktion nicht einfach durch

(x - 1)

geteilt werden, sondern durch

(x^{2} - 3 x + 2)

.

Die komplette Aufgabe lautet wie folgt:

(3 x^{4} + 2 x^{2} - x + 1) : (x^{2} - 3 x + 2)

leider habe ich aboslut keinen Rechenansatz und komme nicht auf das Ergebnis. Kann mit bitte jemand weiterhelfen?

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