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Polynom bestimmen

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Tags: Funktion

abi525 aktiv_icon

18:39 Uhr, 13.05.2022

Hallo ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Geben Sie ein Polynom

p

dritten Grades an, das an den Stellen −1 und 3 Extremstellen
und an der Stelle 2 den Funktionswert

12

und die Steigung 9 besitzt.

Wie kann ich gezielt anhand der angegebenen Werte das Polynom bestimmen bspw. an den Extremstellen

- 1

und 3? Ich habe dabei noch Verständnis Probleme. Könntet ihr mir evtl. helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

18:44 Uhr, 13.05.2022

Hallo,

> Wie kann ich gezielt anhand der angegebenen Werte das Polynom bestimmen bspw. an den Extremstellen −1 und 3?

Mit der Standardmethode:
* Variable(n) spendieren
* Gleichung(en) aufstellen
* Gleichung(ssystem) lösen

Diese Aufgabe könnte ich verlustfrei in einer 12. Klasse auch im Grundkurs stellen (Niedersachsen).
Wieso gibt es da bei dir Probleme? Hast du kein Abitur?

Mfg Michael

abi525 aktiv_icon

19:09 Uhr, 13.05.2022

Hallo Michael,

ich danke dir für die schnelle Antwort. Leider habe ich mein Fachabi auf einem Wirtschaftlichen Berufskolleg gemacht und es sind

6 - 7

Jahre her. Die Antwort reicht mir aber gerade noch nicht so ganz. Was ist mit variablen spendieren gemeint? Und bei der Aufstellung der Gleichung ist mir auch noch nicht klar wie ich da vorgehen soll. Was genau sollte ich da gleichstellen?

Um mögliche Extremstellen zu finden setze ich doch die Funktion

f' (x) = 0

und die Nullstellen von der Funktion sind meine möglichen Extremstellen. Was müsste ich danach rechnen um auf die Lösung zu kommen?

Mit freundlichen Grüßen

N8eule

19:16 Uhr, 13.05.2022

Da müssen wir wohl mal Abi-Wissen auffrischen und einen Start anschuggen.

Variablen spendieren heisst: Ansatz wählen
Das mache ich mal für dich:

y = A \cdot x^{3} + B \cdot x^{2} + C \cdot x + D

Jetzt deine Aufgabe:
Wie lautet die Ableitung dieser Funktion?

Dann:
"das an der Stelle

x = - 1

" eine Extremstelle hat.
Wie lautet die zugehörige Gleichung?

"das an der Stelle

x = 3

" eine Extremstelle hat.
Wie lautet die zugehörige Gleichung?

"das an der Stelle

x = 2

den Funktionswert

12 . .

. besitzt".
Wie lautet die zugehörige Gleichung?

"das an der Stelle

x = 2 . .

. die Steigung 9 besitzt".
Wie lautet die zugehörige Gleichung?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

19:22 Uhr, 13.05.2022

(\begin{matrix} 3 \cdot a & - 2 \cdot b & c & 0 & | 0 \\ 27 \cdot a & 6 \cdot b & c & 0 & | 0 \\ 8 \cdot a & 4 \cdot b & 2 \cdot c & d & | 12 \\ 12 \cdot a & 4 \cdot b & c & 0 & | 9 \end{matrix})

\approx \approx > (\begin{matrix} 3 \cdot a & - 2 \cdot b & c & 0 & | 0 \\ 24 \cdot a & 8 \cdot b & 0 & 0 & | 0 \\ 2 \cdot a & 8 \cdot b & 0 & d & | 12 \\ 9 \cdot a & 6 \cdot b & 0 & 0 & | 9 \end{matrix})

\approx \approx > (\begin{matrix} 3 \cdot a & - 2 \cdot b & c & 0 & | 0 \\ 24 \cdot a & 8 \cdot b & 0 & 0 & | 0 \\ - 22 \cdot a & 0 & 0 & d & | 12 \\ - 9 \cdot a & 0 & 0 & 0 & | 9 \end{matrix})

\Rightarrow a = - 1, b = 3, c = 9, d = - 10,

also

p (x) = - x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 9 \cdot x - 10,

p' (x) = - 3 \cdot x^{2} + 6 \cdot x + 9

mit

p' (- 1) = p' (3) = 0

und

p (2) = 12, p' (2) = 9,

wie gewünscht.

Mit

p'' (x) = - 6 \cdot x + 6

findet man dann übrigens noch,

dass in

x = - 1

ein lokales Minimum

(p'' (- 1) = 12)

und in

x = 3

ein lokales Maximum

(p'' (3) = - 12)

von

p

liegt.

abi525 aktiv_icon

19:34 Uhr, 13.05.2022

Hi echt nett von euch,

Ableitung:

f' (x) = A \cdot 3 x^{2} + B \cdot 2 x + C

f'' (x) = A \cdot 6 x + B \cdot 2

Das an der Stelle

x = - 1

eine Extremstelle hat:

A \cdot 3 x^{2} + B \cdot 2 x + C = - 1

?

"das an der Stelle

x = 3

" eine Extremstelle hat.

A \cdot 3 x^{2} + B \cdot 2 x + C = 3

?

"das an der Stelle

x = 2

den Funktionswert

12 . .

. besitzt".

12 =

A⋅2^3+B⋅2^2+ C⋅2

+ D

?

"das an der Stelle

x = 2 . .

. die Steigung 9 besitzt".
hier wüsste ich nicht wie ich die Steigung rausfinde.

Wäre dieser Ansatz was? Ich versuche das ganze zu verstehen und bin echt dankbar für die Hilfe hier.

N8eule

19:40 Uhr, 13.05.2022

"das an der Stelle

x = - 1

eine Extremstelle hat"
"3*A*x^2

+ 2 \cdot B \cdot x + C =

-1"
Nein!
sondern - wie schon da steht:

x = - 1

Was gilt denn für die Ableitung einer Extremstelle?

"das an der Stelle

x = 2

den Funktionswert

12 . .

. besitzt".
Ja ganz richtig:

12 = A \cdot 2^{3} + B \cdot 2^{2} + C \cdot 2 + D

:-)

abi525 aktiv_icon

19:49 Uhr, 13.05.2022

Hi,

bedeutet das also das ich mit den Gegebenen Extremstellen schaue ob es ein Tiefpunkt oder Hochpunkt hat indem ich (siehe bitte Anhang falls nicht sichtbar ist

) :

f′′(x)=A⋅6*-1+B⋅2
und
f′′(x)=A⋅6*3+B⋅2

einsetze und anschließend die Koordinaten für Hoch und Tiefpunkt berechne?

Was gilt denn für die Ableitung einer Extremstelle? Meinst du mit dieser Frage die zweite Ableitung?

N8eule

20:02 Uhr, 13.05.2022

Nicht raten - sondern sinnvoll einsetzen.

Wenn

x = - 1

dann ist

3 \cdot A \cdot x^{2} + 2 \cdot B \cdot x + C = 3 \cdot A \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot B \cdot (- 1) + C

Und an Extremstellen hat die Ableitung den Wert Null, also:

3 \cdot A \cdot x^{2} + 2 \cdot B \cdot x + C = 3 \cdot A \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot B \cdot (- 1) + C = 0

lufti23 aktiv_icon

18:37 Uhr, 14.05.2022

Hallo,

wie N8Eule bereits geschrieben hat gibt es die Standard-Form

y = A \cdot x^{3} + B \cdot x^{2} + C \cdot x + D

. Wir haben also 4 Unbekannte die wir suchen

(A, B, C, D)

. Dafür brauchen wir 4 Gleichungen, diese können wir uns aus den 4 Bedingungen zusammenbasteln die gegeben sind. Die zweite Ableitung braucht man für diese Aufgabe nicht.

Die Bedingung die zu lösen wären sind:

1.

f' (- 1) = 0

f' (3) = 0

f (2) = 12

(keine Ableitung)
4.

f' (2) = 9

Hoffe das hilft.

LG

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