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Polynom ein Taylorpolynom einer Funktion?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Restglied, Restgliedabschätzung, Taylorreihe

 
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VzQXI

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11:22 Uhr, 29.10.2020

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Hallo zusammen,

ich hänge an einer Beweisaufgabe.

Aufgabe: Es seien I ⊂ R ein Intervall, f:IR eine (n+ 1)-mal in I stetig differenzierbare Funktion und y ∈ I ein innerer Punkt von I. Betrachten wir ein Polynom P, dessen Grad höchstens n ist, und für welches eine Konstante M und eine Umgebung U(y) von y existieren, sodass

|f(x)P(x)|M|xy|n+1

fur alle xU(y). Zeigen Sie, dass P das n-te Taylor-Polynom von f um y ist.

Das hochgeladene Bild stellt mein Ansatz da. Allerdings glaube ich, dass dieser nicht richtig ist um zu beweisen, dass P(x) das Taylorpolynom ist. Kann mir jemand helfen?

Mfg






Taylorpolynom

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HAL9000

HAL9000

13:22 Uhr, 29.10.2020

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Sieht insoweit gut aus (anscheinend ist bei dir x0=y), dass du

limxx0T(x)-P(x)x-x0n=0

sauber bewiesen hast. Ich würde mir allerdings noch eine Begründung dafür wünschen, dass daraus dann wirklich die Polynomgleichheit P(x)=T(x) folgt.
VzQXI

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13:43 Uhr, 29.10.2020

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Vielen Dank für deine Rückmeldung. Ja, also da bin ich mir selbst noch ein bisschen Unsicher, warum ich das dann damit bewiesen habe. ALso ich habe diesen Ansatzt gewählt, weil ein Taylorpolynom eine Funktion approximiert in dem Sinne, dass gilt:

limR(x):(x-a)n kvgt für xa gegen 0.

Ich weiß nicht, ob das identisch mit der Aussage ist, dass dann in diesem Fall das Taylorpolynom durch das Polynom P(x) "approximiert" wird und damit auch die Koeffizienten beider Polynome gleich sein müssen
Antwort
HAL9000

HAL9000

13:47 Uhr, 29.10.2020

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Naja, man kann diese Polynomgleichheit ja auch "zu Fuß" nachweisen:

Angenommen, das Taylorpolynom T(x)=k=0nak(x-x0)k unterscheidet sich von P(x)=k=0nbk(x-x0)k, dann gibt es einen KLEINSTEN Index m mit ambm, und für dieses m gilt 0mn. Dann folgt aber

limxx0T(x)-P(x)x-x0m=limxx0k=mn(ak-bk)(x-x0)k-m=am-bm0,

woraus dann aber auch limxx0T(x)-P(x)x-x0n0 folgt, im Falle m<n sogar Grenzwert - Widerspruch zum vorausgesetzten Grenzwert 0.

Frage beantwortet
VzQXI

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13:50 Uhr, 29.10.2020

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Ah okay, ja das ergibt Sinn. Vielen Dank für die Hilfe!