VzQXI
11:22 Uhr, 29.10.2020
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Hallo zusammen,
ich hänge an einer Beweisaufgabe.
Aufgabe: Es seien I ⊂ ein Intervall, → eine 1)-mal in I stetig differenzierbare Funktion und ∈ I ein innerer Punkt von I. Betrachten wir ein Polynom dessen Grad höchstens ist, und für welches eine Konstante und eine Umgebung von existieren, sodass
− ≤ −
fur alle ∈ . Zeigen Sie, dass das n-te Taylor-Polynom von um ist.
Das hochgeladene Bild stellt mein Ansatz da. Allerdings glaube ich, dass dieser nicht richtig ist um zu beweisen, dass das Taylorpolynom ist. Kann mir jemand helfen?
Mfg
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Sieht insoweit gut aus (anscheinend ist bei dir ), dass du
sauber bewiesen hast. Ich würde mir allerdings noch eine Begründung dafür wünschen, dass daraus dann wirklich die Polynomgleichheit folgt.
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VzQXI
13:43 Uhr, 29.10.2020
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Vielen Dank für deine Rückmeldung. Ja, also da bin ich mir selbst noch ein bisschen Unsicher, warum ich das dann damit bewiesen habe. ALso ich habe diesen Ansatzt gewählt, weil ein Taylorpolynom eine Funktion approximiert in dem Sinne, dass gilt: kvgt für gegen 0.
Ich weiß nicht, ob das identisch mit der Aussage ist, dass dann in diesem Fall das Taylorpolynom durch das Polynom "approximiert" wird und damit auch die Koeffizienten beider Polynome gleich sein müssen
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Naja, man kann diese Polynomgleichheit ja auch "zu Fuß" nachweisen:
Angenommen, das Taylorpolynom unterscheidet sich von , dann gibt es einen KLEINSTEN Index mit , und für dieses gilt . Dann folgt aber
,
woraus dann aber auch folgt, im Falle sogar Grenzwert - Widerspruch zum vorausgesetzten Grenzwert 0.
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VzQXI
13:50 Uhr, 29.10.2020
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Ah okay, ja das ergibt Sinn. Vielen Dank für die Hilfe!
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