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Polynom in irreduzible Faktoren zerlegen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

SnowDragon aktiv_icon

12:35 Uhr, 13.12.2016

Hallo,
Ich muss das folgende Polynom in irreduzible Faktoren zerlegen, über

R

und C.

P (z) = z^{5} + z^{3} + z^{2} + 1

Nur habe ich keine Ahnung wie ich das angehen soll. Muss man es in Linearfaktoren zerlegen? In der Angabe stand, dass

z = i

eine Nullstelle ist...ob das weiterhilft? Vielen Dank schonmal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:59 Uhr, 13.12.2016

Hallo,

ja, Du sollst das Polynome über

ℂ

vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Wenn eine Nullstelle

z = i

ist, dann kannst Du das Polynome durch den Faktor

(z - i)

dividieren usw.

Wenn

z = i

eine Nullstelle ist, könnte auch der konjugiert komplexe Wert eine Nullstelle sein.

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

13:04 Uhr, 13.12.2016

Hallo
irreduzibel heisst in

R

dass du ja mindestens eine Nullstelle hast, dass du mindestens einen Linearfaktor abspalten kannst, es bleibt ein Polynom 4 ten Grades, von dem du schon 2 Nullstellen

i

und

- i

hast also kannst du das Polynom

(x - i) \cdot (x + i) = x^{2} + 1

abspalten, das ist reell irreduzibel, es bleibt ein Polynom 2 ten Grades, ob du das noch in reelle Faktoren zerlegen kannst, kannst du ja dann feststellen. komplex hast du immer 5 lineare Faktoren .
Gruß ledum

SnowDragon aktiv_icon

13:06 Uhr, 13.12.2016

danke für die schnelle Antwort. Also eine Polynomdiviion durchführen? Ich habe das mit den komplexen Zahlen noch nie gemacht, wie soll ich mit dem

i

umgehen?

SnowDragon aktiv_icon

13:08 Uhr, 13.12.2016

Woher weiß ich, dass die konjugiert komplexe auch eine Nst ist?

Atlantik aktiv_icon

13:10 Uhr, 13.12.2016

Schau mal, ob nicht auch eine Nullstelle bei

x = - 1

liegt.

mfG

Atlantik

SnowDragon aktiv_icon

13:18 Uhr, 13.12.2016

Damit ich das richtig verstehe: Wenn ich alle Nullstellen rausfinde kann ich das Polynom ja als Verkettung von Linearfaktoren schreiben. Ist die Aufgabe damit erfüllt?

SnowDragon aktiv_icon

18:14 Uhr, 13.12.2016

Ich krieg das nicht hin, dieses Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen

SnowDragon aktiv_icon

22:31 Uhr, 13.12.2016

kann mir bitte jemand helfen? :-)

Respon

22:56 Uhr, 13.12.2016

Du hast schon drei Nullstellen. Fasse die Wurzelfaktoren zusammen zu

(z + 1) \cdot (z + i) \cdot (z - i) = z^{3} + z^{2} + z + 1

Polynomdivision

(z^{5} + z^{3} + z^{2} + 1) : (z^{3} + z^{2} + z + 1) = z^{2} - z + 1

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