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Polynom irreduzibel
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: polynom irreduzibel
 
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Hallo Leute, Ich hänge gerade im Bereich Klausurvorbereitung an einer Frage fest bezüglich der irreduziblen Polynome. Bekannt ist aus der Vorlesung das Eisenstein Kriterium, weiter hatten wir keine Sätze zu irreduziblen Polynomen, ich bin nun aber noch auf ein paar weitere Sätze gestoßen, die jedoch auch nicht zu folgendem Polynom Auskunft geben können. Ist also irreduzibel? Nach Eisenstein ist es schon einmal nicht irreduzibel. Dennoch hat es ja offensichtlich in keine Nullstelle, allerdings habe ich auch gelesen, dass ein Polynom mit grad und keiner Nullstellen nicht zwingend irreduzibel sein muss. Könnt ihr mir vielleicht helfen oder habt einen passenden Satz parat? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, leider habe ich keinen passenden Satz parat. Daher mache ich es "elementar" ;-) Wenn über als Faktor ein Polynom von ungeradem Grad besäße, hätte es eine reelle Nullstelle, was offenbar nicht der Fall ist. Wenn es also reduzibel wäre, dann würde es mindestens einen normierten Faktor vom Grade 2 geben in der Gestalt mit rationalen, also erst recht reellen . Wir zerlegen über in Linearfaktoren. Dazu bestimmen wir die 6 verschiedenen komplexen Lösungen der Gleichung . Wir erhalten dann als Lösungen mit für . Diese 6 Nullstellen bilden 3 Paare konjugiert komplexer Zahlen: . Damit ergibt sich die bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung von in drei reelle Polynome 2-ten Grades: , wobei ist. Das Absolutglied von ist , und das ist keine rationale Zahl. Gruß ermanus |
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Dann haben wir jetzt aber einerseits die Aussage, dass es nicht irreduzibel ist (da keines der Kriterien erfüllt ist) und andererseits den Fakt, dass es nicht reduzibel sein kann, wegen der Nullstellen. Aber eins von beiden muss ein Polynom doch sein oder täusche ich mich? Gibt es also doch noch ein Kriterium, dass das Polynom als irreduzibel festlegt? |
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Die Kriterien, wie z.B. das von Eisenstein, sagen doch nur etwas über die Irreduzibiltät aus, wenn sie erfüllt (!) sind, sind sie nicht erfüllt, geben sie einem keinerlei Information. Das ist so wie bei den Reihen. Wenn die Glieder keine Nullfolge bilden, dann kann die Reihe nicht konvergieren, bilden sie hingegen eine Nullfolge, weiß man dennoch nichts über die Konvergenz. Das Eisenstein-Kriterium und auch alle anderen mir bekannten Kriterien sind hinreichend für Irreduzibilität, aber nicht notwendig. Gruß ermanus |
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Vielleicht als abschreckendes Beispiel: erfüllt nicht das Eisensteinkriterium, ist aber doch offensichtlich irreduzibel über . |
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Ich werde daraus leider nicht schlau. Bei dem Polynom handelt es sich ja nun um die Fragestellung, ob dieses Polynom irreduzibel ist oder nicht. Um auf dein anderes Beispiel einzugehen: Generell ist es ja auch unabhängig von der Wahl einer Primzahl denn wenn tritt das Problem ja offensichtlich immer auf. Dabei können wir in Bezug auf die Fragestellung nur sagen: Nein es ist nicht irreduzibel nach Eisenstein (weiter gibts auch anscheinend keinen Satz, der bestätigt, dass das Polynom irreduzibel ist) und nein es ist nicht reduzibel, da keine Nullstelle in . Daher stehe ich aktuell auch völlig auf dem Schlauch .. PS: Wieso sagst du nun, dass „offensichtlich“ irreduzibel ist. Meiner Ansicht nach bestätigt auch das kein Satz. |
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Ich verstehe dein Problem nicht. Eisenstein sagt zum konkreten Polynom gar nichts. Aber mein Beweis zeigt, dass das Polynom irreduzibel ist und fertig! |
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Dass irreduzibel ist, ist doch klar, da Quadrate reeller Zahlen immer sind. |
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Wenn alles klar ist, bitte abhaken. Gruß ermanus |
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Gegen Ermanus. Das Kriterium mit der Nullfolge ist nur ein NOTWENDIGES Kriterum. Die Lage bei Eisenstein ist aber genau umgedreht; hier handelt es sich um ein HINREICHENDES , also Beweis kräftiges Kriterium. Mit dem Eisensteintest verhält es sich wie in der Medizin. Er ist ein Test asuf " kranke " Polynome; . sind die Mitternachtswurzeln der quadratischen Gleichung ² " kaputt " ,weil dieses Polynom die ( beiden ) Eisensteinzhlen 2 und 3 hat. Die Analogie zur Medizin reicht sogar noch weiter; Testergebnis negativ heißt noch lange nicht, dass das Polynom gesund ist . Natürlich ist " x² " das Minimalpolynom seiner beiden wurzeln oder hältst du die etwa für Rational? Aber dieses Polynom testet doch negativ, weil eine Quadrazahl ist. Ist irrational? Was eine Frage. Kannst du dich noch an den Hirn rissigen kanonischen Beweis erinnern? Und? Testet das Polynom " x² " etwa nicht positiv? Aber wir leben in spannenden Zeiten, wo der eisenstein selbst für Schüler intressant wird. Kennst du übrigens den Zwillingsbruder des Eisenstein, den Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) ? Dann verfsuch doch mal die Irrationalität von über SRN zu beweisen. WARUM ist irrational? Der augenblick der Erleuchtung - im japanischen Zen Buddhismus heißt er Satori. Der SRN - von einem außeruniversitären Genie, so einer Art Ramanujan, wurde er entdeckt. Der Jahrtausendfake; davon war die Mathematikerzunft so schockiert, dass sie die Entdeckung des SRN Gauß in die Schuhe schoben. Dies nur als antwort auf jene Frage auf dem fossilen Portal Lycos " was passiert, wenn ich etwas Bedeutendes entdecke, was die mathematische Community noch nicht kennt? " Du das haben schon ganz andere versucht; schlag nach bei . Waerden und Emil Artin. Die kannten noch gar keinen SRN; und dein prof hat auch noch nie von ihm gehört . Nicht eingerechnet die beiden Lemmata, die ich selbst zu dem Tema entdeckt habe. Junge du lebst in spannenden Zeiten; bleiben wir in Kontakt? |
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@Godzilla: du solltest schon mal genauer hinschauen: ich habe gesagt, dass das Nichnullfolgesein der Reihenglieder HINREICHEND für die Nichtkonvergenz ist. Abgesehen davon ist das nur ein Beispiel, um dem Studenten zu zeigen, dass er hier offenbar Äquivalenz mit Implikation verwechselt, und insofern wohl glaubt, dass der Werkzeugkasten der Irreduzibilitätskriterien alle Informationen liefert, die man braucht, um in jedem einzelnen Fall eine einfache Entscheidung über Reduzibilität/Irreduzibilität treffen zu können. Leider gibt es diesen vollständigen Werkzeugkasten nicht, oder besser gesagt, zum Glück gibt es diesen nicht, so beibt uns wenigstens fernab vom sturen Rezeptdenken ein Ansporn kreative Problemlösungen zu ersinnen. |
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Es gibt ihn NOCH nicht - wer weiß? Einen Beweis, dass es ihn nicht geben kann, wird es vermutlich nicht geben . Hier WER war schöpferisch? Die 2 Kilojahre seit den alten Griechen, die kreativ über nachgrübelten, ein singuläres Kalb mit zwei Köpfen? Oder der Entdecker des SRN? Aktion " Jadesäule " Die Decken in unserer Knabenanstalt waren abgestützt mit Jadesäulen. Klasenkamerad " Albin " , den wir den " Kunst sinnigen Luciusknaben " nannten ( bedürfte näherer Erläuterung ) hatte so seine Art, augenfällig zu demonstrieren, wenn sich wieder mal jemand nicht kreativ verhalten hatte. Sehenden Auges schritt er zu einer der Jadesäulen, stieß sich die Stirn an der selben, schlug sich mit der Hand an die Stirn und rief laut aus " Aua " Ich werde ja viel gescholten, weil sich mein Zitatenschatz im Wesentlichen aus Augsburger Puppenkiste ( AP ) und Sesamstraße speist. Die Szenen kann man nicht erklären; du musst sie gesehen haben. Ich meine aus der AP die Löwentrilogie von Max Kruse , Teil 3 der Trilogie " Gut gebrüllt Löwe " halt das Spiel, wo die " Blechbüchsenarmee " des ( bösen ) Grafen " Rao " auftritt. Rao ist alles andere als kreativ; das soll hier unterstrichen werden. Darum hat er auch einen Ratgeber, ausgerechnet einen Affen, einen Gibbon. Es ist immer wieder hinreißend, wie es Kruse versteht, exotischen Tieren einen Charakter zu verleihen die in unseren heimischen Fabeln gar nicht vorkommen ( Das Urmel stammt übrigens auch aus seiner Feder. ) ja und Hoheiten wie diesem Rao gegenüber muss man devot auftreten; der Gibbon macht immer nur zarte, vorsichtige Andeutungen; fällt nie mit der Tür ins Haus. Und wenn Rao abermals nix capito und guckt wie so ein Auto, dann meint der Gibbon " MUSS ICH NOCH MEHR SAGEN, HOHEIT? " bei meinen Eltern und mir wurde das sogar zum geflügelten Wort. Aber warum - das kann man nach Jahren nicht mehr erklären; deshalb fällt es uns ja so schwer, die ollen Griechen zu verstehen. Du müsstest dir denn die Szenen selber auf DVD ansehen; dann verstehst du vielleicht meine Zitierfreudigkeit . |
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Timo und jetzt zu dir. Da du nicht aufgepasst hast, zitiere ich jetzt nochmal den eisensteintest korrekt; er isr so einfach, dass er dir in fleisch und Blut über gehen sollte. Der Test eignet bzw. bezieht sich nur auf primitive Polynome. Und zwar betrachten wir die Nicht_Leitkoeffizienten ( NLK ) eines primitiven Polynoms. Ein Polynom testet positiv, wenn es eine Primzahl gibt, die sog. Eisensteinzahl, mit folgenden beiden Teilbarkeitseigenschaften teilt sämtliche NLK p² darf kein Teiler des Absolutgliedes sein. Gibt es ein solches testet dein Polynom also positiv, so ist es prim ( über das Minimalpolynom seiner einfachen ) wurzeln. Ein eisenstein positives Polynom kann keine rationalen Nullstellen haben. die Mitternachtswurzeln einer eisenstein positiven quadratischen Gleichung sind " kaputt " Ich will mal so sagen: Irgendwo besteht eine Verwandtschaft zwischen Mathematikern und Juristen. So beschlossen im Jahre drei 14_jährige Jugendliche, einen PKW zu entwenden. Ihr geschickter Verteidiger konterte, eine diebstahlsabsicht habe zu keinem Zeitpunkt bestanden; lediglich aus Übermut hätten sie eine Spritztour unternommen . Aha; eine Gesetzeslücke. Die Notwenfigkeit eines Paragrafen gegen " unbefugtes Führen von Kraftfahrzeugen " wurde erkannt . Im Vergleich hierzu schneiden die Mathematiker bedeutend schlechter ab. weil dass sich Onkel Eisenstein nur auf primitive Polynome bezieht, davon hörten wir oben. Demnach wäre es nur ein IQ Test zu erkennen, dass es sich bei dem SRN analog verhält ( warum ??? ) Das ist aber seit seit der Entdeckung des SRN bis zu mir niemandem aufgefallen ( ich efuhr überhaupt erst im Jahre vom SRN ) Alle Kopisten schreiben das falsch ab, siehe wiki. sie betone ausdrücklich, Polynome mit gebrochenen Koeffizienten seien statthaft. Und obendrein beschimpfte mich ein user " Ascon " als Troll, weil ich ja nicht wissen konnte, dass dieses Theorem offiziell SRN heißt und weil ich nicht " zitiert hätte, dass es auf Gauß zurück " gehe . Wenn ich die Unkenntnis der Profs, den SRN betreffend, in Anschlag nringe. Dann bist du, timo, mit deinen lückenhaften Kenntnissen des eisensteim zehn Mal rehabilitiert. Mir Frankfotter kenne da en geile Witz, wer du bis wer dei Lehrer sinn. Waaste schon emaa in Dribbdebach geweese in Sachsehause uffn Affetorplatz? Sitzt klaa Äffsche in Urwald uffne Palm. Der Dschunge brennt; rings kimmt Riiiese konzentrisch Feuerwalz uff des klaa Äffsche auf zu. Frage: Wie soll sisch desklaa Äffsche in Sischerheit pringe? Antwott: Ei woher soll's dann es klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß? |
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Ach weil wir schon dabei sind. ich könnte dir rein fachlich mathematische Gründe nennen, die gegen Gauß als entdecker des SRN sprechen - aber das wäre ja nicht lustig. So distanzierte sich etwa User " Medicopter " auf Mathelounge " Dass Gauß der Entdecker sei, habe ICH nie behauptet; und es läst sich wohl fürderhin nicht aufrecht halten . " Dass Zivilcourage nicht sehr verbreitet ist, ist hinreichend bekannt. Auf Lycos hat mich ja jeder gelesen; doch es war unmittelbar zu erkennen, dass kein schüler, kein Student und kein Studienrat auf Lycos meine SRN Zitate aufgriff. Ich stelle mir das jetzt so vor, dass sämtliche Schüler ihrem Lehrer eine lange Nase drehen und ihre Klassenkameraden über den Tisch ziehen. Und die Pauker lassen ihre Klassen dumm sterben . Aber einige User fassten sich doch ein Herz und stellten den SRN in mathematische Foren. Die Moderation von Lycos reagierte prompt. Noch wusste ich nicht einmal, dass dieser Aparillo unter dem Namen SRN firmiert. Und ein Zusammenhang mit Gauß lag mir absolut fern. Da äußerte sich ein Moderator von Lycos in einem Kommentar, dieses Theorem ( wie er es umschrieb ) sei " auf Lycos entdeckt worden und stelle somit geistiges Eigentum des Forums " dar. Seine unbefugte Verbreitung in Fremdforen stelle daher einen " Straftatbestand im Sinne des UrhebRG" dar und habe " die Deaktivierung des Useraccounts " zur Folge . Ein Student hatte übrigens bei Lycos merkwürdiger Weise nur eine Teilaussage des SRN aufgeschnappt; in moderner Sprache lautet sie " Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige wurzeln haben. " Das habe er so seinem Assistenten aufs Butterbrot geschmiert; völlig fassungslos sei der gewesen . doch schon in der nächsten Sekunde waren sic der Student und sein Assistent wieder einig; eine Aussage FÜR LEITKOEFFIZIENT GEBE ES NICHT . Mein Daddy, spitzname " Leo " , hielt sich übrigens für " Lebensklug " Eine seiner Weisheiten " Kerle lass doch einfach jeden so dumm, wie er ist . " |
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Um Gottes Willen !!! Die nächste Laberattacke macht sicher mal wieder das Fass voll. Ich denke, da muss kräftigst gelöscht werden. Das ist ja nicht auszuhalten ! |
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Ermanus; wie anders soll ich umscheiben, dass ich mich völlig außer Stande sehe, einen Studenten zu kritisieren bloß, weil er seinen Eisenstein nicht kann? |
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Was auch immer Poesie und Märchen Geschichten hier zu suchen haben .. Ich halte noch einmal fest: In unserer Vorlesung kam zum Thema irreduzible Polynome lediglich das Eisenstein Kriterium vor. Hier muss man mich auch nicht für kritisieren, dass ich dieses Kriterium nicht kann, denn offensichtlich habe ich lediglich dieses Kriterium vorliegen und kann demnach auch nur damit arbeiten. Dass dieses Kriterium nur hinreichend und nicht notwendig ist, schien mir etwas neu aus den oben genannten Gründen. Ebenso das Feststellen von Nullstellen, denn auch hier hatten wir in Bezug auf die irreduziblen Polynome keine Sätze, Lemmata etc. Da nun die Frage in der Übung war, ob das Polynom irreduzibel ist und ich die Frage nur mit dem Eisenstein Kriterium beantworten konnte, schien für mich das Polynom reduzibel. Da ich dann auf das Kriterium der Nullstellen gestoßen bin, entstand für mich ein Widerspruch, daher dieser Thread. Ich fasse also zusammen: Das Polynom ist irreduzibel, da die Nullstellen in bzw liegen, nicht in . Das Eisenstein Kriterium ist lediglich hinreichend, so dass dieses Polynom unabhängig vom Eisenstein Kriterium irreduzibel ist. |
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Hallo Timorhd, ich habe dich nicht kritisiert, sondern nur versucht, deine falsche Vorstellung von der Macht der Irreduzibilitätskriterien zu korrigieren. Dass man sich in der Mathematik immer mal wieder falsche Vorstellungen von etwas macht, habe ich bei mir ja selbst häufig genug erlebt. Aus meiner Erfahrung mit Klausuren in Hagen, Hamburg und Kiel meine ich - ohne Gewähr - sagen zu dürfen, dass in der Regel solch eine schwierige Aufgabe nicht drankommt. In ca. 2/3 der mir bekannten Fällen war nach Eisenstein gefragt ... Gruß ermanus |
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Ich weiß, dass du mich nicht kritisiert hast. Gemeint war der Goethezilla .. Dir danke ich für deine Hilfe ! |
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Meine ( japanische ) Freundin meinte mal " Ich hätte nie geglaubt, dass ein Dummschwätzer wie du, der sich nur endlos selbst reden hört wie du, anderen Leuten konzentriert zuhört; aber soeben hast du mich eines Besseren belehrt . " Timo bei dir fällt mir auf; DU kannst offenbar nicht zuhören. Dir hat nämlich ein Prof etwas erzählt von Onkel Eisenstein Außerdem kannst du das ja auch in allen Algebraskripten nachlesen. ) Könntest du nämlich zuhören, wäre bei dir nie der Eindruck entstanden, ich hätte dich kritisiert. Was müsste . ein Starmathematiker berichten, der sich die Aufgabe vorgenommen hart, etwa in einer Fernsehreihe die Mathematik spannend, unterhaltend und populär darzustellen? Ich berichtete dir von dem Zwillingsbruder des Eisenstein, dem SRN . Dem größten Jahrtausendkrimi bzw. Jahrtausendfake auf mathematischem Gebiet. Im Hörfunk hieß es mal " Wodurch unterscheidet sich die Neuzeit vom Mittelalter? Im Mittelalter versandete alles Wissen in irgendwelchen Klosterbüchereien; und das Mittelalter schrieb seine Entdeckungen irgendwelchen mythischen Heiligen zu. Dagegen die Neuzeit ging dazu über, alles Wissen ZENTRAL ENZYKLOPÄDISCH zu sammeln - EINSEHBAR und NACHVOLLZIEHBAR für jedermann. Und die Historie jeder Entdeckung sollte nachvollziehbar dokumentiert sein. " Vor diesem Hintergrund nähern wir uns mit Riesenschritten dem neuen Mittelalter ( wofür es längst weitere Indizien gibt. ) Gestandene Mathematiker erdreisten sich und missbrauchen unser Vertrauen, indem sie wider besseres Wissen verbreiten, der Entdecker des SRN sei Gauß - und bestehlen gleichzeitig den wahren Entdecker. Natürlich hat das Methode; wenn etwa du ein Paper einschickst, ärgert sich der Gutachter erstmal, dass er sich überhaupt mit dir auseinander setzen muss. Darum hofft er, dir irgendeinen Fehler nachweisen zu können; gelingt ihm dies nicht, schnieft er, alles was du vorbringst, sei ja nur " trivial " und längst bekannt . Ein Lehrer wird den Teufel tun, den SRN an seine Klassen weiter zu geben; glaubst du, der riskiert Kritik seitens des Direx oder der Kultusbehörde? Ein Schüler, der sich etwa öffentlich zum SRN bekennt, riskiert die Rolle eines " Radikalen " Und ein Schüler, der offen eingesteht, dass er den SRN kennt, wird in den Augen seiner Kameraden zum Streber. Auch bei Lehrern sind Streber sehr unbeliebt - das Kapoprinzip. Hier das ist doch typisch Mittelalter. In den zentralen Algebrabüchern ist der SRN gar nicht erfasst; es handelt sich um ein Geheimwissen, welches ein Schattendasein fristet. Und der Entdecker bleibt mystisch geheim im Verborgenen; Gauß nimmt hier quasi die Rolle von König Artus ein oder von Hermes Trismegistos . Die ihm gebphrende Bedeutung nimmt der SRN erst ein, wenn sämtliche algebrabücher umgeschrieben, umredigiert sind - und bis da Hin ist noch ein sehr weiter Weg. Was ich nämlich in wirklichkeit sagte: " So lange es um die wissenschaftliche Sauberkeit und Redlichkeit nicht zum Besten bestellt ist beim SRN , sehe ich mich leider außer Stande, dich, Timo ( oder sonst jemanden ) zu kritisieren, bloß weil er den eisenstein nicht drauf hat, den Zwillingsbruder des SRN . " Sowas nennt man " Moratorium " ; warten wir noch einige Jahrzehnte zu. Sollte ich es noch erleben, dass sich die Lage an der SRN Front beruhigt, mach ich auch gerne den Dackel vom Eisenstein, der jeden verbellt, der mein Herrchen nicht kapiert . Aber hier Timo; eben fand ich bei dir einen ganz schlimmen Satz. Ich fasse also zusammen: Das Polynom ist irreduzibel, da die Nullstellen in ℂ bzw ℝ liegen, nicht in ℚ. " Gemäß dem Fundamentalsatz liegen alle Nullstellen immer in . Du tust ja grade so, als wenn ein Polynom nur dann reduzibel sein könnte, wenn es rationale Wurzeln hat Dann wäre das Problem ja trivial . Gegenbeispiel ² |
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Ich gehe nun nicht mehr auf deine Märchen ein, tut mir leid. Erzähl deiner japanischen Freundin alles .. |
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@Godzilla: kannst du uns nicht endlich mit deinen SRN-Geschichten verschonen? Sicher hat der Student mit "Ich fasse also zusammen: Das Polynom ist irreduzibel, da die Nullstellen in ℂ bzw ℝ liegen, nicht in ℚ. Das Eisenstein Kriterium ist lediglich hinreichend, so dass dieses Polynom unabhängig vom Eisenstein Kriterium irreduzibel ist." im allgemeinen unrecht. Aber kannst du nicht einfach sachlich freundlich darauf hinweisen statt diesen provokanten Ton anzustimmen? Musst du immer ein solches Riesengedöns machen? Ich denke, dass viele Studenten, die hier eine Frage stellen, von deinem endlosen Salbadere abgeschreckt werden, und sich daher von diesem Forum abmelden. Deine Art, mit dem Missverständnis eines Studenten umzugehen (Eisenstein-Problematik), ist katastrophal! Noch ein solches Ding, dann war's das! |
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