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Polynom irreduzibel zerlegen in versch. Körpern

Universität / Fachhochschule

Polynome

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Irreduzibilität von Polynomen, Linearfaktor, Linearfaktorenzerlegung, polynom, Polynom Grad

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15:09 Uhr, 28.12.2015

g = x^{5} - 7 x^{4} + 13 x^{3} + 3 x^{2} - 28 x + 30

ist ein Polynom in

K [x]

für diverse Körper

K

. Zerlege

g

in ein Produkt irreduzibler Polynom aus

K [x]

für

K = ℚ, K = ℝ, K = ℤ / 3 ℤ, K = ℤ / 5 ℤ, K = ℤ / 7 ℤ

Es sei

p

eine Primzahl und

ℤ / p ℤ

der Körper mit

p

Elementen
2. Bestimme die Anzahl der normierten Polynom vom Grad 2 aus

(ℤ / p ℤ) [x],

die in ein Produkt von Linearfaktoren zerfallen.
Wie viele normierte, irreduzible Polynom vom Grad 2 gibt es in

(ℤ / p ℤ) [x]

?

3. Bestimme die Anzahl der normierten Polynom vom Grad 3 aus

(ℤ / p ℤ) [x],

die in ein Produkt von Linearfaktoren zerfallen.
Wie viele normierte, irreduzible Polynom vom Grad 3 gibt es in

(ℤ / p ℤ) [x]

?

4. Berechne alle normierten, irreduziblen Polynome vom Grad

\leq 3

aus

(ℤ / 3 ℤ) [x]

Meine Ideen:

zu

1 . :

?

zu 2. und

3 . :

normierte Polynome haben ja den Höchstkoeffizienten

1,

sehen also so aus

x^{2} + a \cdot x + b

oder

x^{3} + a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

. Bestimme ich hier die Anzahl dieser Polynome, einfach nach den Möglichkeiten für a und

b,

bzw

c

. ?
Irreduzible Polynome vom Grad 2 und 3 sind ja diejenigen, die keine Nullstellen habe, aber wie bestimme ich die ?

zu

4 . :

?

Danke für jede Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

ledum aktiv_icon

20:02 Uhr, 29.12.2015

Hallo
in 1 lass dir von Wolfram

α

oder so was die Nullstellen berechnen und kombiniere daraus die Faktoren für

ℝ

und

Q

für die restlichen wandle

mod 3

bzw.

mod 5

und

mod 7

um
dann hast du wegen 30=0mod 3 und 0mod 5 schon eine Nullstelle, dann musst du in den erst nur noch

1,2

bzw

1,2,3,4

einsetzen beu

mod 7

etwas mehr arbeit aber

28

und 7 fallen ja raus.
zu

2)

wenn das Polynom zerfällt dann in

(x - a) \cdot (x - b) a, b

aus

ℤ_{p}

zu 3 entsprechend
4. schreib wieder die reduziblen hin. der erst ist irreduzibel
Gruß ledum

VA!13 aktiv_icon

11:14 Uhr, 31.12.2015

1)

Das heißt also, wenn ich die Nullstellen habe, dann zerlege ich das einfach in die Linearfaktoren, also

(x - a) (x - b) .

. usw. wobei

a, b

Nullstellen sind ?

Zu

2)

und

3) :

Und dann einfach berechnen wie viele Möglichkeiten es für a und

b

gibt und bei der 2. wäre das ja für a und

b

jeweils

p - 1

Möglichkeiten, oder ?

Bei der

4)

weil ich leider nicht so genau, wie du das meinst !?

Danke!

ledum aktiv_icon

16:16 Uhr, 31.12.2015

Hallo
in 1 findest du ja nicht nur reelle oder rationale Nst, also musst du die komplexen bzw reellen nicht rationalen zu 2 ten Grades polyfonem machen.
zu

4) a)

die Zahlen

0,1,2

ausprobieren,
oder die möglichen reduziblen hinschreiben, und den Rest nehmen, denk dran 3. Grades kann auch in Linearfaktor und quadratische fkt zerfallen.
Wenn du mit den Tips einfach schon mal ein paar Ergebnisse gefunden hättest wäre Antworten leichter, deine Fragen- wenn überhaupt nötig- präziser.
Gruß ledum

VA!13 aktiv_icon

16:23 Uhr, 31.12.2015

Okay, danke. dann werd ich das mal so versuchen und mich bei eventuellen Rückfragen nochmal melden.

VA!13 aktiv_icon

12:53 Uhr, 01.01.2016

1) :

Habe die Nullstellen

x_{1} = 3, x_{2} = 1 + \sqrt{6}, x_{3} = 1 - \sqrt{6}

Fur

K = ℚ

habe ich also nur die Nullstelle 3 und kann

g

dann zerlegen in

(x - 3) (x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 10)

Für

K = ℝ

gilt dann

(x - (1 + \sqrt{6})) (x - (1 - \sqrt{6})) (x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 6)

Für

K = ℤ / p ℤ

habe ich

g

jeweils umgeschrieben die Nullstellen ermittelt und das wieder so zerlegt.
für

p = 3 : (x - 1) (x^{4} + x^{2} + x)

p = 5 : (x - 2) (x - 3) (x - 4) (...)

Hier bin ich noch nicht ganz weiter gekommen

p = 7 : (x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} + 6 x + 4)

Hoffe, du kannst mir sagen, ob das so einigermaßen richtig ist ?

Zu

2) : (x - a) (x - b) = x^{2}

-abx +ab und für a habe ich dann

p - 1

Möglichkeiten und für

b

auch, dass heißt die Anzahl der normierten Polynome ist

{(p - 1)}^{2}

Allerdings weiß ich nicht so genau, wie ich daraus jetzt auf die komme, die auch irreduzibel sind, das wären ja diejenigen, wo

a \neq x, b \neq x,

und da hab ich gedacht, dass es davon dann

{(p - 2)}^{2}

gibt
Und das ganze analog für die

3)

nur eben mit einer 3 im Exponenten

Zu

4) :

ich habe versucht, deinen Tipp anzuwenden, werd aber irgendwie nicht schlau draus, kann mir einfach nichts konkretes darunter vorstellen...

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