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Polynom ist irreduzibel

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: irreduzibel, Irreduzibilität von Polynomen, polynom

Tina1999

15:30 Uhr, 18.05.2020

Wir betrachten

R =

[

√−5] und das Polynom

f = 3 x^{2} + 4 x + 3

∈

R [x]

.

Zeige, dass

f

irreduzibel in

R [x]

ist.

Dann weiß ich also, weil es irreduzibel ist, dass

f

nur triviale Teiler hat, f≠0 und f∉R^x.

Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich vorgehen muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

ermanus aktiv_icon

17:01 Uhr, 18.05.2020

Hallo,

kennt ihr die Norm eines Elementes

N (x + y \sqrt{- 5}) = x^{2} + 5 y^{2}

und wisst ihr, dass gilt

N (α β) = N (α) N (β)

für

α, β \in R

?

Gruß ermanus

Tina1999

17:11 Uhr, 18.05.2020

Hallo und vielen Dank für die Antwort.
Zur Frage: Ja, ich kenne beides.

ermanus aktiv_icon

17:32 Uhr, 18.05.2020

Das ist super! Dann sollten wir das Problem lösen können.
Wir nehmen mal an, dass das Polynom redizibel ist über

R

.
Dann gibt es

α, β, γ, δ \in R

, für die gilt

3 x^{2} + 4 x + 3 = (α x + β) (γ x + δ) = α γ x^{2} + (α δ + β γ) x + β δ

Koeffizientenvergleich liefert dann

α γ = 3, α δ + β γ = 4, β δ = 3

.

Für unser editier-unfreundliches

\sqrt{- 5}

schreiben wir

W

;
dann können wir unsere Koeffizienten so schreiben:

α = a_{1} + a_{2} W, β = b_{1} + b_{2} W, γ = c_{1} + c_{2} W, δ = d_{1} + d_{2} W

mit ganzen Zahlen

a_{1}, a_{2}, \dots, d_{1}, d_{2}

.

Nun wenden wir die Norm

N

auf die Gleichung

α γ = 3

an,
wodurch

(a_{1}^{2} + 5 a_{2}^{2}) (c_{1}^{2} + 5 c_{2}^{2}) = N (α) N (β) = N (α β) = N (3) = 9

entsteht. Dies ist eine Gleichung in

ℤ

, wo wir uns ja auskennen ;-)

Da hier nur positive ganze Faktoren auftreten, kann die Zerlegung der

9

nur so:

9 = 1 \cdot 9

, oder so:

9 = 3 \cdot 3

, oder so:

9 = 9 \cdot 1

stattfinden.

Überlege dir, welche Möglichkeiten für

α

und

γ

bestehen ...

Gruß ermanus

Tina1999

20:44 Uhr, 18.05.2020

Vielen Dank für die Hilfe!

Ich verstehe allerdings leider nicht ganz, was beim letzten Punkt nun zu tun ist. Wir haben das zwar gelernt, aber nie anhand eines Beispiels angewandt.
Danke!

ermanus aktiv_icon

21:11 Uhr, 18.05.2020

Die Zerlegung

9 = 3 \cdot 3

würde ja bedeuten, dass

N (α) = 3

ist,
also

a_{1}^{2} + 5 a_{2}^{2} = 3

ist. Das ist aber nicht möglich mit ganzen Zahlen

a_{1}, a_{2}

. Damit folgt

N (α) = 1

oder

N (γ) = 1

.
Wie muss also im ersten Falle

α

bzw. im zweiten Falle

γ

aussehen?

Tina1999

21:58 Uhr, 18.05.2020

Da wir ja aber annehmen dass

f

reduzibel ist, ich aber beweisen soll, dass

f

irreduzibel ist, muss ich das ganze auf einen Widerspruch führen oder?

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22:11 Uhr, 18.05.2020

Ja, darauf wird es hinauslaufen. Aber warum beantwortest du nicht meine Frage?
So schnell entsteht der Widerspruch nicht ...

Tina1999

22:13 Uhr, 18.05.2020

Es tut mir leid, aber ich bin mit dem Thema noch nicht vertraut und noch etwas überfordert mit der Aufgabe. Darum versuche ich zuerst einmal von Beginn des Beweises alles zu verstehen.

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22:17 Uhr, 18.05.2020

OK.
Aber die Frage, wann

N (α) = a_{1}^{2} + 5 a_{2}^{2} = 1

ist,
dürfte eigentlich nicht so schwer sein ;-)
Ich will aber nicht drängen, also nimm dir Zeit.

Tina1999

22:26 Uhr, 18.05.2020

Das stimmt natürlich.
Ich weiß nicht, ob ich etwas übersehe, aber meiner Meinung ist dies nicht mit ganzen Zahlen zu lösen, da durch das Quadrat automatisch alle Zahlen positiv werden und auch wenn ich Eins einsetze schon auf einen Wert von 6 komme.

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22:54 Uhr, 18.05.2020

α = \pm 1

dürfte doch kein Problem sein, also

a_{1} = \pm 1, a_{2} = 0

Tina1999

23:03 Uhr, 18.05.2020

Achja, entschuldigung ich hatte gerade einen Denkfehler bezüglich

0^{2}

. Aber ergibt natürlich Sinn.

ermanus aktiv_icon

23:16 Uhr, 18.05.2020

Und nun gilt ja

α γ = 3

, damit haben wir für den Fall

N (α) = 1

die beiden Möglichkeiten

α = 1, γ = 3

und

α = - 1, γ = - 3

,
für den Fall

N (γ) = 1

bekommen wir entsprechend die Fälle

α = 3, γ = 1

und

α = - 3, γ = - 1

.
Denke an 17:32 Uhr. Da hatten wir auch herausbekommen, dass im Falle der
Reduzibilität

β δ = 3

sein muss,
analog wie eben erhalten wir also die Fälle

β = 1, δ = 3

und

β = - 1, δ = - 3

β = 3, δ = 1

und

β = - 3, δ = - 1

.

Nun soll nach 17:32 Uhr gelten

α δ + β γ = 4

.
Nun spiele alle Fallkombinationen durch und prüfe, ob dabei
der Wert 4 entstehen kann ...

Tina1999

23:21 Uhr, 18.05.2020

Ach nein sorry, ich habe mich verlesen.

Tina1999

23:28 Uhr, 18.05.2020

Der Wert 4 kann nicht entstehen. Nur die Werte

- 6, 0

und 6.

ermanus aktiv_icon

23:28 Uhr, 18.05.2020

Prima! Also ist eine Zerlegung des Polynoms nicht möglich, es ist also
irreduzibel.
Kann sein, dass der Weg, den ich dir hier vorgeführt habe, nicht gerade
der kürzeste oder eleganteste ist, aber er ist elementar und benutzt
außer der Norm keine weiteren "Tricks".

Gruß ermanus

Tina1999

23:29 Uhr, 18.05.2020

Vielen Dank für die Hilfe! Entschuldigung für die Schwierigkeiten am Anfang, ich hatte da leider noch Schwierigkeiten.

ermanus aktiv_icon

23:33 Uhr, 18.05.2020

Kein Problem :-)
Übrigens kann auch 10 entstehen:

α = δ = 3, β = γ = 1

.
Aber unterm Strich bekommt man nie eine 4.

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