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Polynom n-ten Grades ein R Vektorraum?!

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

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02:11 Uhr, 11.01.2011

Hallo! oder besser Guten Morgen ;-)
Seit mehr als eine Stunde schlage ich mich gerade mit einer Aufgabe rum und ich komme einfach so nicht weiter. Nach längerer Zeit, dachte ich frag ich Euch mal wieder um Rat. Die Aufgabe habe ich angehängt. Danke für jeden Tipp.

Liebe Grüße und noch mal ein Frohes Neues,
Sven

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

02:42 Uhr, 11.01.2011

Hi,

wo genau hakt es denn? Am besten legst du dir ein schlaues Buch (oder Skript) daneben, in dem ein Vektorraum definiert ist, und fängst an, die Bedingungen nachzuweisen. Das ist allerdings sehr rechenlastig, das gebe ich zu.

Gruß
Sina

mathabolica aktiv_icon

02:53 Uhr, 11.01.2011

Rechenlastig ist gut... Wir haben kein Skript. Das war noch in der letzten Woche vor den Ferien besprochen worden und ich war Krank. Aus der Aufzeichnung einer Freundin werd ich nicht schlau. Darum die Nachfrage. :-(

Sina86

03:13 Uhr, 11.01.2011

Ok, dann schau z.B. mal hier unter 6.1:
http//www.uni-leipzig.de/stksachs/lehrbuecher/mathematik/propaed/vektorraum.pdf
solltest du einige der Begriffe nicht kennen, nicht schlimm, einfach ignorieren (ich weiß nicht, was du studierst, deswegen sind vielleicht einige Begriffe nicht vorgekommen).

Überall, wo dort V steht, setzt du

\prod_{n}

ein, für das komische K setzt du

ℝ

ein und dann muss man das nachrechnen. Und ich sehe, dass sie vergessen haben dort eine wichtige Sache aufzulisten. Nennen wir sie

0) \forall v, w \in V : v + w \in V

das heißt, die Menge muss additiv abgeschlossen sein. Ich rechne das mal exemplarisch vor:

Seien

v, w \in V = \prod_{n}

, d.h. v und w sind Polynome vom Grade n (meistens verwendet man die Buchstaben p und q für Polynome, aber muss man nicht). Dann existieren reelle Zahlen

v_{i}, w_{i}

für

i = 0, . . ., n

, so dass

v (x) = \sum_{i = 0}^{n} v_{i} x^{i}, w (x) = \sum_{i = 0}^{n} w_{i} x^{i} .

Nun führe ich die Addition aus:

(v + w) (x) = \sum_{i = 0}^{n} v_{i} x^{i} + \sum_{i = 0}^{n} w_{i} x^{i} = \sum_{i = 0}^{n} (v_{i} + w_{i}) x^{i}

dafür verwende ich einfach die Info, die auf dem Aufgabenblatt für die Addition gegeben ist. Nun sind

v_{i}

und

w_{i}

für jedes i eine reelle Zahl. D.h.

v_{i} + w_{i}

ist ebenfalls eine reelle Zahl (für Mathematiker: aufgrund der Abgeschlossenheit des reellen Zahlenkörpers). Demnach setzen wir

p_{i} := v_{i} + w_{i} \in ℝ

für

i = 0, . . ., 1

und wir können schreiben:

(v + w) (x) = \sum_{i = 0}^{n} p_{i} x^{i} = : p (x)

Und nun schaue ich in die Definition der Menge

\prod_{n}

und sehe, dass

p (x)

die Bedingungen der Menge erfüllt (hinter dem Strich) und somit ist

p \in \prod_{n}

.

Da nun

v, w

beliebig gewählt waren (ich kann die Koeffizienten

v_{i}

und

w_{i}

beliebig wählen, was ich gemacht habe funktioniert immer), habe ich also für alle (

\forall

)

v, w \in \prod_{n}

gezeigt, dass

v + w \in \prod_{n}

. Also habe ich Bedingung 0 gezeigt (und etwas langatmig aufgeschrieben, dass muss man natürlich nicht immer so machen).

Noch ein Hinweis: Manchmal habe ich geschrieben

v

, manchmal

v (x)

. Das macht keinen Unterschied, die Schreibweise

v (x)

betont einfach, dass es sich bei den Polynomen um Funktionen handelt. Wenn man das aber weiß, kann man auch einfach

v

schreiben.

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