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Polynom p für eine Matrix A wählen mit p(A)=A^-1

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Inverse Matrix, Matrizenrechnung, polynom

predaderp aktiv_icon

12:37 Uhr, 19.01.2020

Hallo zusammen
wir haben eine invertierbare MAtrix

A \in R^{n, n}

und müssen existenz eines Polynoms

p

zeigen mit

p (A) = A^{- 1}

ich will das durch Induktion zeigen aber schon bei I.A steh ich auf dem Schlauch:
Sei

z . B

n = 2

. Dann gilt

E 2 = A^{- 1} \cdot A = (t 0 \cdot A^{0} + t 1 \cdot A) \cdot A = (t 0 \cdot E 2 + t 1 \cdot A) \cdot A = t 0 A + t 1 A^{2}

Hier hab ich kein Plan wie ich

t 0, t 1

wählen soll damit die Gleichunf gilt

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

ermanus aktiv_icon

13:01 Uhr, 19.01.2020

Hllo,
ob man das gut mit vollst. Induktion hinbekommt, weiß ich nicht.
Ich würde vom charakteristischen Polynom von

A

ausgehen, für
das ja

A

eine Nullstelle ist gemäß Cayley-Hamilton.
Gruß ermanus

predaderp aktiv_icon

14:37 Uhr, 19.01.2020

Ich versteh leider nicht wie man von da aus vorgeht. Wir sagen also es gibt ein

C . p

von A. Nach Def. ist es dann

P = det (t \cdot E - A)

. Man kann

A^{- 1}

rausziehen:

P = det (t \cdot A - A^{- 1}) \cdot A^{- 1}) = det (t \cdot A - A^{- 1}) \cdot det (A^{- 1}) = \frac{det (t \cdot A - A^{- 1})}{det (A)}

. Dann

A^{- 1}

auf beiden seiten dazuaddieren, nach

P

umstellen ergibt

A^{- 1} = \frac{det (t \cdot A - A^{- 1}) \cdot A^{- 1}}{det (A) \cdot det (t \cdot E - A)}

.
Jetzt müsste man eigentlich zeigen dass das was rechts steht ein polynom

p

von grad

n - 1

mit

p (A),

aber da wird doch

A^{- 1}

ranmultipliziert

\Rightarrow

überhaupt kein polynom und A kann man erst recht nicht einsetzen weil dann wird das ganze durch null geteilt,also nicht wohldefiniert. ich seh irgendwie nicht wo ich hier ansetzen kann,aber stimmt schon Induktion scheint da noch unzugänglicher

ermanus aktiv_icon

15:34 Uhr, 19.01.2020

Ich glaube, du denkst zu kompliziert ;-)
Sei

P = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

.
Hier ist bekanntermaßen

a_{0} = (- 1)^{n} \det (A) \neq 0

.
Gemäß Cayley-Hamilton haben wir dann

- A^{n} - a_{n - 1} A^{n - 1} - \dots - a_{1} A = a_{0} I_{n}

, folglich

I_{n} = - \frac{1}{a_{0}} A^{n} - \frac{a_{n - 1}}{a_{0}} A^{n - 1} - \dots - \frac{a_{1}}{a_{0}} A

.
Diese Gleichung multipliziere mit

A^{- 1}

und du bist fertig.

predaderp aktiv_icon

16:21 Uhr, 19.01.2020

doch alles nice)) vielen Dank. die Bedingung für

a_{0}

ist bei uns ganz flüchtig erwähnt.Hab es übersehen

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