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Partialbruchzerlegung: Zählergrad < Nennergrad

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Partialbruchzerlegung

beggi91 aktiv_icon

16:24 Uhr, 15.08.2017

Hallo Leute, ich hätte eine grundsätzliche Frage zur Partialbruchzerlegung. Ich denke, dass ich das Verfahren ganz gut anwenden kann, aber ich habe mich gefragt, warum zwangsläufig die Bedingung Zählergrad

<

Nennergrad gelten muss.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe :-)

DrBoogie aktiv_icon

16:30 Uhr, 15.08.2017

Diese Bedingung gibt's nicht.
Aber es ist einfacher zu rechnen, wenn der Zähler möglichst "klein" ist.
Und die Situation "Zählergrad<Nennergrad" kann man immer leicht erreichen, durch Polynomdivision.

beggi91 aktiv_icon

16:37 Uhr, 15.08.2017

Hi, ja klar kann man die Situation Zählergrad

<

Nennergrad mit Polynomdivision leicht erreichen und dann die Partialbruchzerlegung anwenden. Ich habe nur nie verstanden warum dieser Schritt nötig ist. Danke schon mal für die Mühe.

DrBoogie aktiv_icon

16:57 Uhr, 15.08.2017

Es ist wie gesagt nicht unbedingt nötig, es erleichtert nur etwas die Rechnerei.

Beispiel:

\frac{x^{3} + x + 1}{x^{2} + x}

. Ich kann sofort schreiben

\frac{x^{3} + x + 1}{x^{2} + x} = \frac{a x^{2} + b x + c}{x} + \frac{d x^{2} + e x + f}{x + 1}

und dann Koeffizienten bestimmen:

\frac{a x^{2} + b x + c}{x} + \frac{d x^{2} + e x + f}{x + 1} = \frac{(x + 1) (a x^{2} + b x + c) + (d x^{2} + e x + f) x}{x^{2} + x}

a + d = 1

a + b + e = 0

b + c + f = 1

c = 1

. Es gibt viele Lösungen, aber das ist nicht schlimm, sie führen zum gleichen Ergebnis. Z.B. die Lösung

a = c = f = 1

b = - 1

d = e = 0

. Dann hat man

\frac{x^{3} + x + 1}{x^{2} + x} = \frac{x^{2} - x + 1}{x} + \frac{1}{x + 1}

. Das geht also. Aber es ist aufwendiger und es gibt einen kleinen Nachteil - eben die Nichteindeutigkeit der Lösung. Es gibt nämlich Leute, die damit ein Problem haben. Obwohl ich finde, dass solche Systeme noch einfacher zu lösen sind als eindeutige.

beggi91 aktiv_icon

11:00 Uhr, 16.08.2017

Ok danke das hat mir mit dem Verständnis echt weiter geholfen :-)

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