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Polynome

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Tags: ggT, Grad, polynom

Florentine1996 aktiv_icon

09:48 Uhr, 19.04.2018

Hallo,

ich habe zwei Polynome aus dem Polynomring mit Koeffizienten aus den rellen Zahlen:

a (x) = x^{5} - c

und

b (x) = x^{3} - d,

mit

c, d \neq 0

.
Man soll Paare(c,d) finden, wobei der grad(ggT(a,b))=1
Ist damit gemeint, dass man Polynome vom Grad als 1 als größten gemeinsamen Teiler sucht?

Dann würde ich mit Polynomdivision anfangen:

(x^{5} - c) : (x^{3} - d) = x^{2}

mit Rest:

{d x}^{2} - c

Dann weiter:

(x^{3} - d) : ({d x}^{2} - c) = (x^{3} - d) : (x^{2} - \frac{c}{d}) = x

mit Rest

\frac{c}{d} x - d

Dieser Rest muss doch dann so gewählt werden, dass er 0 ist.

\frac{c}{d} x - d = \Leftrightarrow c x - d^{2} = 0

Ist das überhaupt so richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

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11:18 Uhr, 19.04.2018

"Ist damit gemeint, dass man Polynome vom Grad als 1 als größten gemeinsamen Teiler sucht?"

Nein. Gemeint ist, dass Sie keine gemeinsame Teiler außer Konstanten haben.

Florentine1996 aktiv_icon

11:20 Uhr, 19.04.2018

D . h

ich muss die Polynomdivision weiterführen, bis ich kein

x

mehr habe. Ist das Vorgehen so überhaupt korrekt?

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11:32 Uhr, 19.04.2018

Das ist ein möglicher Weg.
Ich vermute, dass es einen eleganteren Weg geben müsste, aber momentan sehe ich ihn nicht.

Florentine1996 aktiv_icon

11:36 Uhr, 19.04.2018

Gut.
Dann würde ich weiter erhalten:

(c x - d^{2}) : x = c

mit Rest

- d^{2}

D . h

aber doch das

- d^{2} = 0

sein muss. Das widerspricht doch der Voraussetzung?

Bummerang

11:46 Uhr, 19.04.2018

Hallo,

auch Doktoren sind nicht unfehlbar!

grad(ggT(a;b))

= 1 \Leftrightarrow

ggT(a;b)

= m \cdot x + n

Du hattest also mit Deiner Annahme recht und kannst beim linearen Rest aufhören mit der Polynomdivision!

Florentine1996 aktiv_icon

11:52 Uhr, 19.04.2018

Danke:-)

D . h

also

c x - d^{2} = 0

oder

x - \frac{d^{2}}{c} = 0

D . h

x = \frac{d^{2}}{c}

Wie interpretiere ich das jetzt, um auf meine Paare

(c, d)

zu kommen?

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12:01 Uhr, 19.04.2018

Ja, ich habe das Wort grad da glatt übersehen. :-O

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12:08 Uhr, 19.04.2018

Das ermöglicht dann auch eine elegantere Lösung.
Es muss jetzt ein

a

geben, so dass

x - a

beide

x^{3} - d

und

x^{5} - c

teilt.
Damit ist

a

eine Nullstelle von beiden Polynomen, woher folgt

a^{3} = d

und

a^{5} = c

.
Also, es muss

c^{3} = d^{5}

gelten.
Es bleibt nur noch die Frage, ob sie noch einen anderen gemeinsamen Teiler haben könnten in diesem Fall.

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12:15 Uhr, 19.04.2018

Ok ich sehe schon, meine Lösung ist nicht so toll.

Wie handelst du den anderen Fall ab?

anonymous

12:24 Uhr, 19.04.2018

Hallo DrBoogie,

deine Idee ist kreativ, aber du hast vermutlich übersehen, dass die beiden Polynome außer a noch andere, komplexe Nullstellen besitzen. Deswegen führt der Vietasche Wurzelsatz nicht zwangsläufig auf

a^{3} = d

beziehungsweise

a^{5} = c

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12:36 Uhr, 19.04.2018

Was ist mit meinem Ansatz aus

11 : 52

. Geht das so?

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13:04 Uhr, 19.04.2018

"deine Idee ist kreativ, aber du hast vermutlich übersehen, dass die beiden Polynome außer a noch andere, komplexe Nullstellen besitzen."

Ja, und?

"Deswegen führt der Vietasche Wurzelsatz"

Habe ich gar nicht angewandt.

Nochmals:

x - a

teilt

P (x)

P (a) = 0

. Einverstanden?
Jetzt sei

P (x) = x^{n} - b

. Dann ist

P (a) = 0

dasselbe wie

a^{n} = b

. Widerspruch?

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13:05 Uhr, 19.04.2018

x = d^{2} / c

steht? Das kann doch gar nicht gehen, links eine Variable, rechts eine feste Zahl.

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13:07 Uhr, 19.04.2018

Ich meine, dass der Rest dann 0 ist, wenn

x = \frac{d^{2}}{c}

. Wie wäre es denn richtig?

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13:09 Uhr, 19.04.2018

Nein, denn

x

kann nicht

d^{2} / c

sein.

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13:11 Uhr, 19.04.2018

Warum nicht. Aber ist es überhaupt richtig, dass

x - \frac{d^{2}}{c} = 0

sein muss

?

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13:18 Uhr, 19.04.2018

Warum, habe ich schon erklärt.
Nein, auch nicht richtig. Du hast Polynomdivision nicht zu Ende geführt. Man muss dann noch

d x^{2} - c

durch

\frac{c}{d} x - d

teilen. Und dann eigentlich noch einmal. Wenn man Spaß daran hat, denn der von mir vorgeschlagener Weg ist kürzer.

Florentine1996 aktiv_icon

13:21 Uhr, 19.04.2018

Ok du hattest noch geschrieben:
Es bleibt nur noch die Frage, ob sie noch einen anderen gemeinsamen Teiler haben könnten in diesem Fall.
Wie schließt du das aus?

anonymous

13:35 Uhr, 19.04.2018

Hallo DrBoogie,

du hast recht, ich habe dich zu unrecht getadelt. Die Lösung ist auch zu schön, als dass sie scheitern darf.
Es gilt:
I:

x^{3} - d = (x - a) (x^{2}

+ax+

a^{2})

II:

x^{5} - c = (x - a) (x^{4}

+ax^3

+ a^{2} x + a^{4})

Wenn man den zweiten Term in Zeile zwei durch den zweiten Term in Zeile eins teilt, erhält man eine gebrochen rationale Funktion

(x^{2} - a^{2} + \frac{(a^{2} + a^{3}) x + 2 a^{4}}{x^{2}}

+ax+

a^{2}

))(ax und

a^{2}

gehören eigentlich auch unte den Bruchstrich, gelangen aber auf dem Bildschirm nicht dorthin).
Da komplexe Lösungen stets konjugiert auftreten, kann nur a Lösung von I und II sein, da sonst ein Term von Grad 2 übrig bleiben müsste.
Und daraus resultiert dann auch, dass es außer a keine weiteren gemeinsamen Lösungen von I und II gibt.
Es sei denn natürlich, ich irre ein weiteres mal.

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13:41 Uhr, 19.04.2018

"Es sei denn natürlich, ich irre ein weiteres mal."

Nein, es ist richtig.
Es bleibt nur eine Kleinigkeit: der Fall

a = 0

bzw.

c = d = 0

muss man extra behandeln. In diesen Fall ist

g g T = x^{3}

, was nicht passt.
Also die Antwort ist

c^{3} = d^{5}

und

c \neq 0

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13:45 Uhr, 19.04.2018

Als Alternative kann man direkt relativ einfach zeigen, dass

(x^{2} + a x + a^{2}) (a^{2} + α x + β x) = x^{4} + a x^{3} + a^{2} x^{2} + a^{3} x + a^{4}

für keine

α, β

stimmen kann.

Florentine1996 aktiv_icon

13:50 Uhr, 19.04.2018

D . h

also die die Paare

(d^{\frac{5}{3}}, d)

erfüllen die Bedingung.
Was wäre denn dann der ggT?

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14:06 Uhr, 19.04.2018

x - d^{1 / 3}

Florentine1996 aktiv_icon

14:23 Uhr, 19.04.2018

Ach ja.
Warum muss man egtl aufpassen auf kompelexe Nullstellen, diese wären doch irrelevant über den reellen Zahlen?

Wie würde ich zum kgV kommen?

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14:30 Uhr, 19.04.2018

"Warum muss man egtl aufpassen auf kompelexe Nullstellen, diese wären doch irrelevant über den reellen Zahlen?"

Muss man nicht wirklich.

"Wie würde ich zum kgV kommen?"