Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Polynome, Erzeugendensystem, Basis

Polynome, Erzeugendensystem, Basis

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

AstroYoman

02:41 Uhr, 28.12.2014

Hallo allerseits,

brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Die Menge aller Polynome der Form

x^{n} + n

für

n \in ℕ_{0}

bildet ein Erzeugendensystem, aber keine Basis des reellen Vektorraumes

ℝ [x]

, wobei

x^{0}

als

1

definiert ist. (wahr oder falsch)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

10:08 Uhr, 28.12.2014

Das ist eine Basis, also ist die Aussage falsch.

AstroYoman

17:07 Uhr, 28.12.2014

Die Menge aller Polynome M={

x^{n} + n

für

n \in ℕ_{0}

} bildet ein Erzeugendensystem, da sie eine Teilmenge von

ℝ [x]

(Polynomring mit Koeffizienten aus dem Körper

ℝ

) ist, und für alle Polynome P(x)

\in ℝ [x]

eine Linearkombination

α_{0} * P_{0} (x) + α_{1} * P_{1} (x) + α_{2} * P_{2} (x) + . . . + α_{n} * P_{n} (x) = P (x)

existiert.
(mit

P_{0} (x) = 1, P_{1} (x) = x + 1, P_{2} (x) = x^{2} + 2

usw.)

Ist das richtig? Muss man es allgemein zeigen?

Und wenn die erzeugenden Polynome linear unabhängig sind, dann bilden sie eine Basis des reellen Vektorraumes

ℝ [x]

. Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem und darf kein Nullpolynom enthalten.

Wie zeigt man es allgemein am besten (mit der Wronski-Determinante)?

DrBoogie aktiv_icon

20:45 Uhr, 28.12.2014

"Ist das richtig?"

Das ist nur eine Formulierung und kein Beweis.

Dass es ein Erzeugendensystem ist, kann man direkt zeigen, denn ein beliebiges Polynom

a_{n} x^{n} + . . . + a_{1} x + a_{0}

lässt sich als

a_{n} (x^{n} + n) + a_{n - 1} (x^{n - 1} + (n - 1)) + . . . a_{1} (x + 1) + (a_{0} - (1 + 2 + . . . + n)) (x^{0} + 0)

schreiben.

Lineare Unabhängigkeit von einer beliebigen Anzahl der Polynome der Form

x^{k} - k

kann man so zeigen:
es gelte

b_{1} (x^{k_{1}} + k_{1}) + . . . + b_{n} (x^{k_{n}} + k_{n}) = 0

, wobei wir o.E.d.A. annehmen können, dass

k_{1} < k_{2} < . . . < k_{n}

gilt. Nehmen wir an, es gibt ein

b_{i} \neq 0

. Wir wählen dann ein maximales Index

i_{0}

, so dass

b_{i_{0}} \neq 0

. Dann ist

b_{1} (x^{k_{1}} + k_{1}) + . . . + b_{n} (x^{k_{n}} + k_{n}) = b_{i_{0}} x^{k_{i_{0}}} + R e s t

, wobei

R e s t

ein Polynom des Grades

< k_{i_{0}}

ist. Aus

b_{i_{0}} x^{k_{i_{0}}} + R e s t = 0

muss dann zwangsläufig

b_{i_{0}} = 0

folgen, dass ist aber ein Widerspruch. Damit ist gezeigt, dass die Annahme "es gibt ein

b_{i} \neq 0

" falsch war, also alle

b_{i}

sind

0

, womit lineare Unabhängigkeit gezeigt ist.

UPDATE. Vorzeichen korrigiert.

AstroYoman

02:59 Uhr, 29.12.2014

Vielen Dank, DrBoogie.

1207253

1207113

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?