Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Polynome / Taylor-Polynom 4. Ordnung

Polynome / Taylor-Polynom 4. Ordnung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, polynom, Taylorpolynom

max23i aktiv_icon

20:33 Uhr, 01.07.2022

Bestimmen Sie zu der Funktion $f (x) = x^{4} + 3 x^{3}$ − $2 x^{2} + 7 x$ − 5 das Taylor-Polynom
4-ter. Ordnung jeweils für die Entwicklungsstelle ¨ $x 0 = 0$ und $x 0 = 1$ .
Welche Beobachtungen machen Sie?

Bestimmen Sie das Taylor-Polynom 4-ter Ordnung fur die Funktion ¨ $f (x) = e^{x}^2$
für die Entwicklungsstelle $x 0 = 0$ .
Berechnen Sie damit einen Näherungswert für $e^{0,2}^2$ .

Bin über jede Hilfe dankbar! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

pivot aktiv_icon

21:07 Uhr, 01.07.2022

Hallo,

das Taylorpolynom n-ter Ordnung an der Stelle $x = a$ ist $T_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k}$

$f^{(k)} (x)$ ist die k-te Ableitung der Funktion f(x) und damit ist $f^{(k)} (a)$ die k-te Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle $x = a$ .

Somit ist das Talyorpolynom vierter Ordnung an der Stelle $x = a$ gleich

$T_{4} = \sum_{k = 0}^{4} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k}$

$= \frac{f^{(0)} (a)}{0!} (x - a)^{0} + \frac{f^{(1)} (a)}{1!} (x - a)^{1} + \frac{f^{(2)} (a)}{2!} (x - a)^{2} + \frac{f^{(3)} (a)}{3!} (x - a)^{3} + \frac{f^{(4)} (a)}{4!} (x - a)^{4}$

Du benötigst auf jeden Fall die ersten vier Ableitungen.

Gruß
pivot

N8eule

10:01 Uhr, 02.07.2022

Hallo
Mach dir klar, dass für Polynomfunktionen die Taylorapproximation prinzipiell natürlich die Polynomfunktion selbst ist.
Welche Polynomfunktion sonst soll denn genauer die original-Polynom-Funktion abbilden??

Ein Problemchen könnte natürlich die Entwicklungsstelle
$x_{0} = 1$
darstellen.
Die kannst du wie von Pivot beschrieben lösen,
oder gerne - vielleicht sogar deutlich leichter - einfach auch durch Substitution.
Wenn
$f (u) = u^{4} + 3 \cdot u^{3} - 2 \cdot u^{2} + 7 \cdot u - 5$
ist,
und du die Entwicklungsstelle $(v - 1)$ erkunden willst,
na, bringt das auf Ideen?

Für die nicht-Polynom - Exponentialfunktion, ja da ist stures Ableiten sicherlich nicht schwer und mach doch mal...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1558413

1558386

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?