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Polynome Vektorraum
Universität / Fachhochschule
Tags: Vektorraum
 
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Sei ist ein reeles polynom vom Grad ≤3 Zeige, daß und zwei Basen im Vektorraum der Polynome sind. Welche Dimension hat folglich? Also erst mal zu . Ich muss ja erst zeigen zeigen, dass linear unabhängig sind. Dazu: Wenn die gleichung lösbar ist, nur im Fall sind sie linear unabhängig. Nur wie zeig ich, dass das der Fall ist? Falls das gezeigt ist, muss ich ja noch zeigen, dass aus diesen Vektoren ein beliebiges Vektor in dem Vektorraum darstellen lässt, also das die Basis auch ein Erzeugendensystem ist und wie muss ich da vorgehen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ein Polynom ist nur dann , wenn alle seine Koeffizienten sind. |
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"Ein Polynom ist nur dann wenn alle seine Koeffizienten 0 sind. " Reicht also die Bgründung, dass die Elemente der Basis linear unabhängig sind oder? Nun dazu, dass gezeigt werden muss, dass es ein Erzeugendsystem ist. Das ist ja auch klar, aber wie zeige ich das? Ist Somit kriegen wir nur für die folgende a werte raus. Ist es nun gezeigt das eine Basis ist mit der Dimension 4? |
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Hallo du verwendest, dass ein Polynom 3.ten Grades höchstens 3 Nullstellen hat, Aber deine Summe der Basisvektoren muss ja für alle sein. daraus folgt dass die alle 0 sind. was du mit deinen a Werten für meinst verstehe ich überhaupt nicht. die linearkombination ist ein aus dem VR aber es ist doch nicht das 0 Polynom? Gruß ledum |
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Was ledum über Nullstellen geschrieben hat, ist die Begründung für die Behauptung "Ein Polynom ist nur dann 0, wenn alle seine Koeffizienten 0 sind." Wenn man aber diese Behauptung als wahr annimmt, ist der Rest trivial. sind linear unabhängig, weil nur im Fall gilt. sind ein Erzeugendensystem, weil jedes Polynom vom Grad die Form hat und damit eine lineare Kombination von ist. Damit ist eine Basis des Raumes. |
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Es ist doch im allgemeinen, dass man mit der Linearkombination durch die Vektoren der Basis, auf alle Vektoren des Vektorraums kommt oder? Die basis lautet: und durch Vektor ist somit aus V. Das mein ich mit: a1+a2⋅x+a3⋅x2+a4⋅x3=p Müssen wir hier nicht zeigen, dass wir mit a1+a2⋅x+a3⋅x2+a4⋅x3 mit aus auf alle kommen können? |
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"DrBoogie Uhr, 22.05.2015" Die antwort klärt meine Frage zu . Nun zu zeigen, dass auch eine Basis ist. Das sie Linear unabhängig sind ist klar. Edit: Wie muss ich da weiter vorgehen? |
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So darfst Du auf jeden Fall nicht schreiben. Und eigentlich brauchst Du auch nicht "auf kommen". Du weißt schon, dass der Raum Dimension hat. Damit ist jedes linear unabhängiges System aus Vektoren automatisch eine Basis. Es reicht also die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. |
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Na gut, wenn es reicht die lineare unabhängigkeit zu zeigen. Muss man jedoch noch etwas ergänzen, wie müsste man dann vorgehen? Also wenn da steht: Ergänze die Vektoren zu einer Basis des . Was ist hier eigentlich zu machen? |
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In diesem Fall sieht man sofort, dass wenn dazu genommen wird, dass Ergebnis eine Basis wird. Sonst probiert man ein bisschen rum. |
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Also wie jetzt? Sei ist ein reeles polynom vom Grad ≤3) und bilden eine Basis. Basis 2 lassen wir mal hier weg. Wie muss ich die Vektoren x3−1,x2+x,x+2 zu einer Basis des ergänzen. Ich versteh garnicht was gewollt ist, wie meintest du das mit probieren? Parallel habe ich noch eine Frage allgemein einer zu Basis, da die Aufgabe mich doch ein wenig verwirrt hat. Definition einer Basis ist ja so: Eine Basis eines Vektorraums ist eine Teilmenge von mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften: Jedes Element von lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus darstellen und diese Darstellung ist eindeutig. Bist ein minimales Erzeugendensystem von jeder Vektor aus lässt sich also als Linearkombination aus darstellen ist lineare Hülle von und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus entfernt wird. ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V. Wird also ein weiteres Element aus zu hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig. ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V. Haben wir ein Vektorraum Eine Basis Bilden somit die Vektoren und Steht in der Aufgabe zeige dass und Basis von bilden, was muss ich dann von Eigenschaft1-4 alles zeigen.?? Klar das sie Linear unabhängig sind, was noch? Denn in der obigen Aufgabe haben wir nur gezeigt das sie linear unabhängig sind, jedoch die restlichen 3 eigenschaften nicht. |
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Hallo da der Raum ist hast du ein minimales Erzeugendensystem, musst nichts mehr beweisen. jeder der 4 Def, trifft zu du kannst ja auch sagen jeden Vektor kann ich aus erzeugen usw. du muss nur eine der 4 äquivalenten Definitionen als zutreffend zeigen. wenn du in einem . VR lin unabh, Vektoren hast, bilden die immer eine Basis. Gruß ledum |
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Also muss man bei einem Vektorraum immer nur eine Bedingung zeigen und das reicht? Also theoretisch reicht es zu zeigen, dass Vektoren linear unabhängig zu zeigen? Die eigentliche Frage: Sei p3=(p:-P) ist ein reeles polynom vom Grad ≤3) und bilden eine Basis. Wie muss ich die Vektoren x3−1,x2+x,x+2 zu einer Basis des ergänzen. Was ist hier zu machen? |
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"Also theoretisch reicht es zu zeigen, dass n Vektoren linear unabhängig zu zeigen?" Es reicht auch praktisch. :-) Was Deine Frage angeht, verstehe ich nicht, was Dein Problem ist. Du musst drei Polynome um ein viertes ergänzen, so dass die vier zusammen eine Basis bilden. Dafür hast Du sehr viele Möglichkeiten. Es ist sogar so, dass wenn Du auf gut Glück ein viertes Polynom zufällig wählst, es höchstwahrscheinlich passen würde. Das ist genau wie z.B. in einem einfacheren Fall: wenn man den Vektor um einen zweiten Vektor ergänzen soll, um eine Basis von zu bekommen, kann man jeden Vektor nehmen bis auf die Vektoren der Form . Bei so einer Ergänzung gibt es immer viel mehr "passende" Vektoren als unpassende. Deshalb meinte ich auch das mit rumprobieren. Wenn man extremes Pech hat und die Ergänzung beim 1. Mal nicht klappt (weil die Vektoren linear abhängig sind), dann klappt es bestimmt beim 2. Mal. Aber in diesem konkreten Fall ist das alles nicht notwendig, denn es ist doch klar, dass eine passende Ergänzung ist. Was verstehst Du hier nicht? |
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Also so ? die 3 polynome . Ergänze ich dazu bildet es eine Basis. Das ist damit gemeint? |
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Wenn die Aufgabe war, zu einer Basis des Raumes der Polynome vom Grad zu ergänzen, dann passt als Ergänzung. Wie auch einfach . Oder . Wie gesagt, es gibt viele Varianten. |
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Eine Basis von ist ja in unserem Fall: und wir sollen die Vektoren zu einer Basis des ergänzen. Meint man mit der Ergänzung in unserem Fall : Ergänzung von somit würde die Basis heißen. Ergänzen wir Basis heißt Ergänzen wir Basis heißt Oder wir ergänzen und somit heißt die Basis Das ist doch mit der Ergänzung hier gemeint oder? |
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Hallo nein das hast du falsch verstanden, die 3 x^3−1,x^2+x,x+2 sind fest gegeben, du sollsr dazu einen vierten finden, der lin unabhängig von den dreien ist. der einfachste ist wieder die beste Wahl. es gbt aber viele. kannst du mit den 3 das konstante Polynom erzeugen? Gruß ledum |
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Nein lässt sich mit den 3 natürlich nicht erzeugen, ich ergänze einfach eine somit würde es sich erzeugen lassen. Also wäre eine Basis oder? |
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Hallo ja, aber eigentlich musst du noch zeigen, dass die 1 linear unabhängig ist.obwohl das ja eigentlich direkt ersichtlich ist. Gruß ledum |
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Ja darum gehts mir , im prinzip muss ich ja zeigen das die 4 linear unabhängig sind. Auch wenn es bekannt ist, dass die 3 lin.unabhängig sind möcht ich das für alle 4 nochmal machen. Es muss ja gelten: wie kann ich aus dieser gleichung zeigen, dass diese gleichung für nur gilt? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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