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Polynome auflösen

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Polynome

Tags: polynom, reelle lösungen

frodo111 aktiv_icon

07:01 Uhr, 07.07.2010

Hallo,

ich habe Probleme bei folgenden Aufgaben, die ich nicht gelöst bekomme:

a .)

(2 x + 3) (2 x^{2} - 4 x + 2) = 0

b .)

(x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + 8) (2 x - 10) = 0

c .)

x^{3} - 11 x^{2} + 35 x - 25 = 0

Kann mir bitte jemand helfen?

Gruß
frodo111

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Edddi aktiv_icon

07:30 Uhr, 07.07.2010

a)

Ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

D . h .,

suche die Lösungen für

(2 x + 3) = 0

und

(2 x^{2} - 4 x + 2) = 0

b)

hier ist's ähnlich, nur musst du hier eine kubische GL lösen. Entweder über Card. Formeln oder hier aber eher durch raten einer Nullstelle und Polynomdivision.

c)

wie

b!

;-)

frodo111 aktiv_icon

18:49 Uhr, 07.07.2010

Hallo,
erstmal vielen Dank für die schnelle und gute Antwort.

a .)

alles klar!

x 1 = - 1,5

x 2

und

x 3 = 1

b .)

zur Hälfe klar!

2 x - 10 = 0

x 1 = 5

Raten einer Nullstelle und Polynomdivision? ok, wenn ich jetzt annehme das

x = 1

ist, dann rechne ich

\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + 8}{x - 1}

oder wie? Wenn ja, dann geht das aber nicht auf. Das Problem ist auch, ich das Polynom durch einen Funktionsplotter gejagt und es gibt keine Nullstelle

x = 1

.

Summa Summarum = ?????

c .)

so unklar wie das Unklare bei

b

Kann mir bitte nochmal jemand helfen? Danke.

frodo111

hagman aktiv_icon

18:58 Uhr, 07.07.2010

b)

Die Annahme

x = 1

war ja auch nicht zu rechtfertigen
Teste mal diverse kleine ganze

x

frodo111 aktiv_icon

22:06 Uhr, 07.07.2010

Hallo,
tut mir leid, ich verstehe es nicht. Wie soll ich denn in einer Prüfungssituation da verschiedene Werte testen? Soll ich das Newton-Verfahren anwenden?

Gruß
frodo111

-dude- aktiv_icon

22:31 Uhr, 07.07.2010

Ich glaube du hast dich beim ausprobieren in den Gleichungen vertan. Für c kannst du x=1 nehmen. Bei b passt es jedoch nicht

frodo111 aktiv_icon

22:39 Uhr, 07.07.2010

Hallo,
ja ok, aber was mache ich nun bei Aufgabe

b

.)??? Wie soll ich genau vorgehen??

Gruß
frodo111

-dude- aktiv_icon

22:41 Uhr, 07.07.2010

Also da machst du zuerst: Wenn ein Faktor null ist, ist die Gleichung null
Dann löst du die lineare Gleichung.
Und dann machst du Polynomdivision durch x+2 bei dem kubischen gerät

frodo111 aktiv_icon

22:52 Uhr, 07.07.2010

. .

. Wenn ein Faktor 0 ist

. .

. ok, das heißt doch (nach meinem Verständnis) ich müsste etwas ausklammern

z . B

x,

aber das geht ja nicht da wir 8 als absolutes Glied haben oder?

Gruß
frodo111

-dude- aktiv_icon

23:16 Uhr, 07.07.2010

Nein du musst nichts ausklammern.
Wir raten eine Nullstelle von dem kubischen (

x^{3}

) Polynom. Ich rate mal x=-2.
Also mache ich eine Polynomdivision durch x+2:

(x^{3} - 6 x^{2} - 12 x + 8) : (x + 2) = x^{2} - 8 x + 4

Also kann ich die Gleichung auch als

(x + 2) \cdot (x^{2} - 8 x + 4) = 0

schreiben und das ist einfach zu lösen

frodo111 aktiv_icon

23:27 Uhr, 07.07.2010

Hallo,
ok, das ist gut beschrieben und ich verstehe es auch.
Aber mein Problem (Sorge) ist, dass wenn ich

z . B

in der Klausur sitze, ich nicht die nötige Zeit habe, um viele Nullstellen durchzuraten bzw. durchzurechnen, sodass bei meiner Polynomdivision kein Rest übrigbleibt.

Wie kann ich also schnell und treffsicher die richtige Nullstelle raten?

Gruß und schonmal Danke
frodo111

-dude- aktiv_icon

23:39 Uhr, 07.07.2010

Du kannst in einer Klausur davon ausgehen, dass die Nullstelle im Intervall [-2;2] liegt evt auch 3 oder -3. einfach schnell in TR eingeben und nachrechnen

frodo111 aktiv_icon

18:42 Uhr, 08.07.2010

super! - Das hilft mir echt weiter. Danke.

Aber ich habe noch ne Frage dazu:
Ist es egal (bei meiner letzten Funktion habe ich ja 4 Nullstellen) welche Nullstelle ich mit

x 1

bzw.

x 2, x 3

oder

x 4

kennzeichne?

hagman aktiv_icon

22:45 Uhr, 08.07.2010

Da gibt es keine verbindliche Vorgabe. (Nach Größe sortiert wäre natürlich schick, wenn alle reell sind)

frodo111 aktiv_icon

22:50 Uhr, 08.07.2010

Alles klar! Vielen Dank für die vielen Hilfstellungen. Danke.
Gruß frodo111

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