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Polynome bilden Vektorraum - linear unabhängig?

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Vektorräume

Tags: Lineare Abhängigkeit, polynom, Untervektorraum, Vektorraum

 
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Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

23:12 Uhr, 04.10.2017

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Folgende Frage:

(a) Zeigen Sie, dass die Menge aller Polynome p(x)= an*(x^n) +... +a1⋅x+a0 vom Grad kleiner gleich n einen Unterraum von C(R) bilden. Geben Sie weiters eine Basis von diesem Unterraum an und bestimmen Sie seine Dimension!

(b) Sind die Polynome
p1(x)=x3,p2(x)=x3+x-2,p3(x)=-x3 − 32⋅x+3
linear unabhängig?


Ich weiß leider nicht wie ich Punkt a zeigen soll bzw. eine Basis davon finden soll.

Bei Punkt b habe ich den Ansatz, dass sie dann linear unabhängig wären, wenn sich die Polynome trivial zum Nullpolynom kombinieren lassen, also in der Form p1(x)+p2(x)+p3(x)=0.

Wenn ich sie dann zusammenfasse und für x=0 einsetze komme ich auf 1=0, was nicht stimmt und weswegen ich annehme, dass sie linear abhängig sind. Stimmt das soweit?

LG Manuel


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Antwort
Tobi311

Tobi311 aktiv_icon

00:40 Uhr, 05.10.2017

Antworten
Zu a)

Zeige zunächst dass es sich um ein UR handelt. Eine Basis wäre {1,x,x2,...,xn} (Warum?)

Zu b)

Finde a,b,c∈Rs.d.

a⋅p1(x)+b⋅p2(x)+c⋅p3(x)=0 für alle x

a,b,c gibt es immer die obrige Gl. erfüllt wenn alle drei Null sind, sind die drei Polynome unabhängig
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