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Polynome: ggT, lineare Abbildung, Abbildungsmatrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Abbildungsmatrix, Eigenwert, ggT, Linear Abbildung

Willy123 aktiv_icon

10:56 Uhr, 07.03.2024

Sei m ∈ Q[X] \ Q und R = Q[X]/mQ[X].
a) Zeigen Sie, dass für jedes fixe p ∈ Q[X] die Funktion Mp : R → R mit Mp([q]&sim;) := [pq]&sim; eine lineare Abbildung ist.
b) Zeigen Sie: für alle p ∈ Q[X] gilt gcd(p, m) = 1 ⇐→ ker Mp = {[0]&sim;}.
c) Geben Sie für die spezielle Wahl m = X3 − X + 1 und p = X2 + 3X + 2 die Abbildungsmatrix von Mp bezüglich der geordneten Basis ([1]&sim;, [X]&sim;, [X2]&sim;) von R an.

Ich verstehe schon die Räume, die ganz zu Beginn genannt werden nicht ganz. Ist m ein Element von Q[X] ohne Q, und das zweite ist ein Quotientenraum?

Bei a) fehlt mir nur noch, dass ich die Abgeschlossheit bei der Multiplikation beweise. Wie kann ich das machen?

Bei b) fehlt mir leider total der Ansatz

Und bei c) bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich es richtig verstehe. Warum brauche ich da das m?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ledum aktiv_icon

12:59 Uhr, 07.03.2024

Hallo
Deine Formeln mit den § Zeichen sind für mich unlesbar. Was wird bei eich mit [pq] bestimmt?
deine Interpretation von m Und R finde ich richtig .
Gruß ledum

Willy123 aktiv_icon

13:08 Uhr, 07.03.2024

Entschuldigung, das ist mir gar nicht aufgefallen. Hier noch einmal richtig.

a)

Zeigen Sie, dass für jedes fixe

p

∈

Q [X]

die Funktion Mp

: R

→

R

mit Mp(

[

q])

:=

[

pq] eine lineare Abbildung ist.

b)

Zeigen Sie: für alle

p

∈

Q [X]

gilt

gcd (p, m) = 1

genau dann, wenn ker Mp

= {[0]}

c)

Geben Sie für die spezielle Wahl

m = X^{3} - X + 1

und

p = X^{2} + 3 X + 2

die Abbildungsmatrix von Mp bezüglich der geordneten Basis

([1], [X], [X 2]

von

R

an.

Mit den eckigen Klammern sind immer Äquivalenzklassen gemeint, ich finde das richtige Zeichen nicht.

michaL aktiv_icon

19:53 Uhr, 07.03.2024

Hallo,

also: Ich nehme an, dass mit

Q

eigentlich

ℚ

gemeint sein soll.
Dann handelt es sich bei

ℚ [x]

zwar auch um einen (

ℚ

-) Vektorraum, mehr noch, auch um einen Ring, genauer: einen euklidischen Ring (mit der Gradfunktion als Bewertungfunktion).

Damit geht es bei

ℚ [x] / m ℚ [x] = : R

also um einen (Quotienten-) Ring.

a) muss ja nur nachgerechnet werden:

M_{p} (α f + β g) = \dots

Bei b) brauchst nur das Lemma von Bezout, nachdem es

k, l \in R

gibt mit

k \cdot m + l \cdot p = 1

(konstantes Polynom).
Sicher muss man bei alledem stets korrekt mit den Restklassen umgehen, aber das bekommt man schnell hin.

Zu c): Auch das ist eine oft auftretende Aufgabe.
Du könntest hier schlicht mal rechnen. (Oder ist schon das das Problem?)
Wenn dir das mit Vektoren leichter von der Hand geht, kannst du ja

R

koordinatisieren und

(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) := [1]

(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) := [x]

bzw.

(\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) := [x^{2}]

verwenden.

Mfg Michael

Willy123 aktiv_icon

11:07 Uhr, 08.03.2024

Ok danke!

a)

habe ich jetzt.

Bei

b)

bin ich mir noch nicht ganz sicher, wie ich da jetzt weitermachen soll. Mein Ansatz soweit:
Wenn ich annehme, dass das ggT(p,m)=1 ist und den Kern zeigen möchte, dann sage ich,

[

pq] muss 0 sein, also ist entweder

[p]

oder

[q] = 0

. Kann ich damit irgendetwas anfangen? Und dann weiß ich noch, dass

a \cdot [p] + b \cdot [q] = 1

. Kann ich daraus jetzt irgendwie zeigen, dass

[q] = 0

oder ist das ganz falsch? Bei der anderen Richtung habe ich überhaupt keine Idee

\frac{:}{}

Willy123 aktiv_icon

11:19 Uhr, 08.03.2024

Un zu

c) :

In der Angabe kommt bei

m

ja ein

X^{3}

vor, das ist aber nicht in der Basis, wie kann ich damit umgehen? Wenn ich in Vektoren rechne, kann ich dann auch wie bei Vektoren multiplizieren, wenn ich mir

[

pq] ausrechne? Dann würde ich ja eine

3 x 3

Matrix bekommen.

michaL aktiv_icon

11:33 Uhr, 08.03.2024

Hallo,

also:

ggT (p, m) = 1

bedeutet, dass

α, β \in Q [x]

existieren, sodass

α p + β m = 1

ℚ [x]

gilt.

Gehst du in dieser Gleichung zu mod

m

über, heißt dies einfach, dass

[α] [p] = [1]

(dann also in

R

) gilt.
Mit anderen Worten: Die Multiplikation mit

[p]

R

ist invertierbar, d.h. es gilt

[p]^{- 1} = [α]

.

Demnach folgt doch dann aus

[0] = M_{p} ([q]) = [p q] = [p] [q]

, also kurz aus

[0] = [p] [q]

, dass schon

[q] = [0]

gilt. (Was die Injektivität von

M_{p}

bedeutet.)

Ist

M_{p}

umgekehrt injektiv, so auch surjektiv und damit bijektiv, da

R

ja als Vektorraum endlich-dimensional ist (die Dimension ist gerade gleich

\deg (m)

).

Demnach gibt es ein

[α] \in R

, sodass

[1] = M_{p} ([α])

gilt.
In kompletter Schreibweise in

R

hieße das:

[1] = [α] [p]

.
In Schreibweise in

Q [x]

heiße das:

1 - α p \in m \cdot ℚ [x]

, d.h. es gibt ein

β \in ℚ [x]

, sodass

1 - α p = β m

bzw.

α p + β m = 1

gilt.
Daraus folgt aber schon, dass

p

und

m

teilerfremd sind. Denn:

ℚ [x]

-Linearkombinationen von

p

und

m

bilden ein Ideal in

ℚ [x]

.
Da

ℚ [x]

euklidisch ist, ist dieses Ideal inbesondere ein Hauptideal

t \cdot ℚ [x]

für geeignetes

t

. Wegen

1 \in t \cdot ℚ [x]

folgt

t ∣ 1

1 ∣ t

gilt ohnehin, sodass

t

eine Einheit ist.
Das Lemma von Bezout sagt dann aus, dass der ggT von

p

und

m

eine Einheit ist. (Welche, ist irrelevant.)
Also gilt

ggT (p, m) = 1

.

Ich verwende hier schon eine Menge über Ringe, Vektorräume, Ideale, Assoziiertheit etc.
Ich hoffe, das darf als bekannt vorausgesetzt werden?!

Mfg Michael

Willy123 aktiv_icon

11:46 Uhr, 08.03.2024

Danke!
Ein paar Fragen habe ich dazu noch:

Bei "Demnach folgt doch dann aus

[

0]=Mp([q])=[pq]=[p][q], also kurz aus

[0] = [p] [q],

dass schon

[q] = [0]

gilt.": Warum weiß ich hier, dass

[q] = [0]

und nicht

[p] = [0]

?

Ideale kenne ich leider noch nicht, deswegen habe ich nach der Bijektivität den Beweis nicht mehr verstanden. Beginnt nach der Bijektivität der Beweis in die Rückrichtung? Warum weiß ich da schon, dass

[

1]=Mp([α])?

michaL aktiv_icon

12:01 Uhr, 08.03.2024

Hallo,

weil

ggt (p, m) = 1

vorausgesetzt war und

m \sim 1

wegen

m \in ℚ [x] \ ℚ

nicht sein kann.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

19:24 Uhr, 08.03.2024

c)

Es gilt

M_{p} ([1]) = [p \cdot 1] = [x^{2} + 3 x + 2],

M_{p} ([x]) = [p \cdot x] = [x^{3} + 3 x^{2} + 2 x] = [3 x^{2} + 3 x - 1]

(denn

(p \cdot x) mod m = 3 x^{2} + 3 x - 1

wegen

(x^{3} + 3 x^{2} + 2 x) : (x^{3} - x + 1) = 1

Rest

3 x^{2} + 3 x - 1),

M_{p} ([x^{2}]) = [p \cdot x^{2}] = [x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2}] = [3 x^{2} + 2 x - 3]

(denn

(p \cdot x^{2}) mod m = 3 x^{2} + 2 x - 3)

wegen

(x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2}) : (x^{3} - x + 1) = x + 3

Rest

3 x^{2} + 2 x - 3)

.

Somit ist

M_{B}^{B} (M_{p}) := (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 3 \\ 3 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{matrix})

die Abbildungsmatrix von

M_{p}

bezüglich der Basis

B := ([1], [x], [x^{2}])

Randolph Esser aktiv_icon

00:17 Uhr, 09.03.2024

b)

(\Rightarrow) :

Es gelte

g g T (p, m) = 1

.

Nach dem Lemma von Bezout gibt es somit

u, v \in Q (x),

sodass

u p + v m = 1

.

Gelte nun

M_{p} ([q]) = [p q] = [0]

für ein

q \in Q (x)

.

Dann gibt es ein

k \in Q (x),

sodass

p q = k m

(denn

(p q) mod m = 0)

und es folgt

p q = k m

\Rightarrow u p q = u k m

\Rightarrow (1 - v m) q = u k m

\Rightarrow q = (u k + q v) m

\Rightarrow q mod m = 0

.

Also gilt

[q] = [0]

und somit Kern

(M_{p}) = {[0]}

(< =) :

Sei Kern

(M_{p}) = {[0]}

.

Angenommen,

g := g g T (p, m) \neq 1

(insbesondere Grad

(g) \geq 1)

.

Dann gilt

M_{p} ([\frac{m}{g}]) = [(\frac{m}{g}) \cdot p] = [m \cdot (\frac{p}{g})] = [0]

(denn

(m \cdot \frac{p}{g}) mod m = 0),

also

[\frac{m}{g}] \in

Kern

(M_{p}),

aber

[\frac{m}{g}] \neq [0] (

denn

(\frac{m}{g}) mod m = (\frac{m}{g}) \neq 0),

im Widerspruch zu Kern

(M_{p}) = {[0]}

.

Also gilt doch

g g T (p, m) = 1

michaL aktiv_icon

03:52 Uhr, 09.03.2024

Hallo,

@KartoffelKäfer: indirekte Beweise mit Widerspruch zur Annahme gehen auch immer direkt, meist dann etwas kürzer:

Sei

g; = ggT (p, m)

.
Wegen

m \notin ℚ

, kann nicht

g = 0

gelten.

Sei

q := \frac{m}{g}

(

\in ℚ [x]

, da

g ∣ m

), dann folgt (wie du zeigst), dass

M_{p} ([q]) = [0]

, also wegen Injektivität

[q] = 0

, d.h.

\frac{m}{g} \in m \cdot ℚ [x]

, also

m ∣ \frac{m}{g}

bzw.

m g ∣ m

.
Wegen

m ∣ m g

offensichtlich also

m g \sim m

, ergo

g

Einheit, was zu zeigen war.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

18:36 Uhr, 09.03.2024

a)

M_{p}

ist linear, denn für alle

k, l \in Q, [a], [b] \in R

gilt

M_{p} (k [a] + l [b]) = M_{p} ([k a + l b]) = [p (k a + l b)] = k [p a] + l [p b] = k M_{p} (a) + l M_{p} (b)

.

Das folgt aus den Definitionen

k [a] := [k a], [a] + [b] := [a + b], [a] [b] := [a b]

für alle

k \in Q, a, b \in Q (x)

.

Hinterfragen könnte man hier nun deren Wohldefiniertheit, also,

dass für alle

k \in Q

und

a, a', b, b' \in Q (x)

mit

[a] = [a'], [b] = [b']

gilt:

(I) [k a] = [k a'], (I I) [a + b] = [a' + b'], (I I I) [a b] = [a' b']

.

Beweise hierfür:

(I) :

Aus

[a] = [a']

folgt

a - a' = r m

für ein

r \in Q (x)

und somit

k a - k a' = (k r) m,

also

[k a] = [k a']

(I I) :

Aus

[a] = [a'], [b] = [b']

folgt

a - a' = r m

für ein

r \in Q (x)

sowie

b - b' = s m

für ein

s \in Q (x)

und somit

(a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') = (r + s) m,

also

[a + b] = [a' + b']

(I I I) :

Aus

[a] = [a'], [b] = [b']

folgt

a - a' = r m

für ein

r \in Q (x)

sowie

b - b' = s m

für ein

s \in Q (x)

und somit

a b - a' b' = a (b' + s m) - (a - r m) b' = (a s + r b') m,

also

[a b] = [a' b']

Willy123 aktiv_icon

18:45 Uhr, 10.03.2024

Danke!!

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