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Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, abzählbar
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: abzählbar, ganzzahlig, Koeffizient, polynom, überabzählbar
 
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Ich kann den Beweis zur Abzählbarkeit aller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten nicht so ganz nachvollziehen. Die Aufgabenstellung war dies zu beweisen und nach langem Nachdenken ohne darauf zu kommen habe ich mir dann die Lösung angesehen. Ein Problem habe ich allerdings immer noch: Um zu zeigen dass die Menge aller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten abzählbar ist muss man zuerst zeigen dass ein einzelner ganzzahliger Koeffizient abzählbar ist. Da die ganzen Zahlen abzählbar sind, was einfach zu zeigen ist, ist also auch ein einzelner Koeffizient abzählbar. Abzählbarkeit einer Menge bedeutet bekanntlich das es eine bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf gibt. Hierfür muss offensichtlich eine Abbildung gefunden werden, die die Natürlichen Zahlen auf einer Verknüpfung von mehreren, selbst abzählbaren Mengen abbildet. Die einzige analoge Aufgabenstellung die mir bekannt ist, ist das 1. Cantorsche Diagonalverfahren. Dabei werden die Natürlichen Zahlen auf abgebildet. Und so zeigt man die Abzählbarkeit aller zweistelliger Verknüpfungen von abzählbaren Mengen. Da die Anzahl der Koeffizienten allerdings nicht begrenzt ist müsste man die Abzählbarkeit aller n-stelligen Verknüpfungen von abzählbaren Mengen zeigen. Anders ausgedrückt müsste man eine eine Abbildung finden die bijektiv ist. Da man allerdings schon um zu zeigen dass bijektiv ist einen Kubus bräuchte kann ich den Beweis wie gesagt nicht ganz nachvollziehen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Achtung! ist überabzählbar. Beachte, dass Polynome immer nur endlich viele von 0 verschiedene Koeffizienten haben. Bekanntlich und (Cantor) (und und kann man im folgenden Argument sowieso beliebig austauschen) Daher und per Induktion rasch für alle . Mit anderen Worten: Man findet verhältnismäßig leicht Bijektionen (nicht unbedingt explizit angegeben, die Existenz reicht ja letztlich aus) der Menge der Polynome vom Grad mit der Menge . Die Menge aller Polynome ist die Vereinigung . Diese Vereinigung wiederum kann man sich wie beim Diagonalbeweis als abzählbar viele Spalten (entsprechend dem Grad zu je abzählbar vielen Polynomen (gemäß Abzählung von denken, macht insgesamt also abzählbar. |
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Vielen Dank für die Antwort. Ich wusste nicht das man auch für diesen Beweis davon ausgehen darf dass Polynome immer nur endlich viele, von Null verschiedene Koeffizienten haben. Daher habe ich den Beweis auch nicht nachvollziehen können weil ich eben davon ausgegangen bin dass überabzählbar sein muss. Wenn man nun davon ausgehen darf dass die Anzahl der Koeffizienten endlich ist hat man dann mit Hilfe der obigen Argumentation bereits den Beweis für die Abzählbarkeit aller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten erbracht? Denn der Beweis welchen ich gesehen habe ging ein wenig anders. |
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Man darf beim Beweis von der Definition von "Polynom" ausgehen. Welche hast du? Im Prinzip habe ich den Beweis mehr oder weniger komplett angegeben, aber es gibt gewiss alternative Wege |
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