Polynome reell analytisch Beweis

Hallo zusammen,

ich soll beweisen, dass reelle Polynome (reell)analytisch auf R sind.

also ein Polynom kann ich ja schreiben als

${\displaystyle \sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0\forall \mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Soweit so gut, aber woran sehe ich jetzt dass es analytisch ist?

Muss ich nicht zeigen, dass diese Reihe für alle x konvergent ist? Wenn ja wie gehe ich jetzt weiter vor?

Vielen Dank & liebe Grüße

Und da dies unabhängig von x ist (die Koeffizienten werden ja sobald der Exponent größer n ist, gleich 0) ist die Potenzreihe für alle x in R konvergent richtig? Und daraus folgt bereits analytisch, richtig?