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Polynome und Landaunotation

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Landau Notation, Landau-Symbol

 
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fulltimesunshine

fulltimesunshine aktiv_icon

17:13 Uhr, 09.06.2019

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Hallo,
ich hoffe, ihr könnt mir helfen; die Aufgabenstellung lautet:
Bestimmen Sie jeweils das größte α ∈ N, sodass die folgenden Gleichungen gelten:
-5x7+12x3= O(x^α)
ex-(1+x)= O(x^α)
x= O(x^α)
sinh(x)= O(x^α)
cos(x)= O(x^α)
tan(x)= O(x^α)
ex7-e0= O(x^α)
ln(1-x)+x= O(x^α)
sinh(x)-x-16x3= O(x^α)

Wobei O(x^α) eben das Landausymbol von x hoch a darstellt.

Allgemein weiß ich, was die Landaunotation bezüglich Taylorreihen kann (aktuelles Thema), nämlich eben alle Terme höheren Grades zusammenfassen.
In unserem Skript ist jedoch nur ein Satz bezüglich der Verwendung vom Landausymbol für Polynome aufgeführt: x2-x3+2x7=x2+O(x3) oder 5-x3=O(x0)=O(1) und zwei weitere Beispiele. Ich verstehe hier leider überhaupt nicht, wie man das Landausymbol für Polynome benutzt und habe deswegen keine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Beziehungsweise die Teilaufgaben mit cos,tan etc. würde ich in ihre Taylorreihen umschreiben. Wie ich dann aber ein größtes a wählen soll, damit die Gleichung gilt, weiß ich nicht.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Bin dankbar für alles! :-)



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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matheapfel

matheapfel aktiv_icon

07:11 Uhr, 10.06.2019

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Das O()-Symbol gibt die Größenordnung an. Bei Polynomen vom Grad n ist die Größenordnng xn, Zahlen - denke an x0=1- sind O(1).

fulltimesunshine

fulltimesunshine aktiv_icon

16:13 Uhr, 10.06.2019

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Okay, Dankeschön schonmal.

Wie würde man denn dann zum Beispiel x mit einem Landau-Symbol ausdrücken?
Antwort
matheapfel

matheapfel aktiv_icon

06:41 Uhr, 13.06.2019

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Genauso O(x) bzw. O(x12).
Übrigens, ex ist "größer" als JEDES Poloynom ...
Antwort
HAL9000

HAL9000

09:22 Uhr, 13.06.2019

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@fulltimesunshine

Die Landau-Symbole machen nur Sinn im Zusammenhang mit einem zu betrachtenden Grenzübergang. Dazu hast du leider gar nichts gesagt, man kann nur der Beispiele wegen vermuten, dass es um x0 geht (statt um x).

Oben würde übrigens a gefordert, es ist daher

x=O(x0)=O(1)

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