Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Polynome zu einer Basis ergänzen Oo

Polynome zu einer Basis ergänzen Oo

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

harold aktiv_icon

10:38 Uhr, 17.11.2009

Hallo, folgende Frage erscheint mir extremst schwierig^^.

V

ist der Vektorraum

V

der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad

\leq 5

die Polynome

p 1 (x) = x^{5} + 2 x^{4} + 3 x^{2} + 2 x + 1

p 2 (x) = 4 x^{5} + 4 x^{2} + 3 x + 2

sind gegeben.

Nun soll man

p 1

und

p 2

durch Hinzunahme geeigneter Element aus

(1, x, ... ., x^{5})

zu einer Basis von

V

ergänzen.

Wie mache ich das? also eine Basis muss ja linear unabhängig und erzeugendensystem von

V

sein.

Ich würde sagen bei

p 2

muss man zunächst

x^{4}

hinzugügen. aber wieviele weiß ich nicht.
Zudem fehlen beiden

x^{3}

Werte, die man wohl auch hinzunehmen muss....

Ich hoffe auf hilfe.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

hagman aktiv_icon

21:36 Uhr, 17.11.2009

Du sollst

p_{3}, p_{4}, p_{5}, p_{6} \in {1, x, x^{2}, ..., x^{5}}

finden, so dass

p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p_{5}, p_{6}

eine Basis bilden.
Trivialerwise ist

(1, x, x^{2}, ..., x^{5}, p_{1}, p_{2})

ein Erzeugendensystem.
Wenn wir

x^{5}

weglassen, haben wir immer noch eines, denn

p_{1} - 2 \cdot x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 1 \cdot 1 = x^{5}

lässt sich auch aus dem rest kombinieren.
Aber auch

(1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}, p_{1}, p_{2})

ist zu groß, also gibt es eine nichttriviale Linearkombination, die die 0 darstellt.
In der Tat:

p_{2} - 4 \cdot p_{1} = - 8 \cdot x^{4} - 8 \cdot x^{2} - 5 \cdot x - 2 \cdot 1

Daher können wir wahlweise noch

x^{4}

oder

x^{2}

oder

x

oder 1 rausschmeißen (nicht jedoch

x^{3})

.
Somit ist beispielsweise

(1, x, x^{2}, x^{3}, p_{1}, p_{2})

eine Basis von

V

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

679924

679431

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?