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Polynomen zweiten Grades als Störfunktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Störfunktion Polynom

Keroo aktiv_icon

18:41 Uhr, 27.03.2017

Hallo,

ich bekomme folgende Aufgabe einfach nicht hin

y"+4y´+5y = (x+2)²

Könnte mir das jemand vorrechnen und den Lösungsweg erklären?
Bei der Homogenen Lösung kommt eine imaginäre Zahl raus, wie gehe ich mit soetwas um?

Meine Homogene Lösung lautet:

c 1 \cdot (e^{- 2} x) \cdot cos (x) + c 2 \cdot (e^{- 2} x) \cdot sin (x)

ist das korrekt?

Die Störfunktion ist (x+2)² , diese habe ich ausmultipliziert zu x²+4x+4

Welchen Ansatz muss ich wählen und wie gehe ich weiter vor?
Den Lösungsansatz im Papula verstehe ich leider nicht.

MfG

Keroo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

19:01 Uhr, 27.03.2017

Hallo
der Ansatz ist ein allgemeines Polynom vom selben Grad also ax^2+bx+c
deine homogene Lösung ist richtig, dass da nich

e^{- 2 x}

steht ist wohl weil du die

- 2 x

nicht in Klammern hast.
mit dem komplexen Teil hast du ja schon richtig

cos

und sin
Gruß ledum

Keroo aktiv_icon

19:17 Uhr, 27.03.2017

Hallo,

Vielen Dank für die Rückmeldung, stimmt beim homogenen Teil habe ich die Klammern vergessen, mein

x

ist im Exponent:-)

Okay das mit dem Ansatz habe ich jetzt verstanden, wie gehe ich dann weiter vor?

Ich würde den Ansatz erstmal zweimal Ableiten

F' (x) =

2ax

+ B

F'' (x) = 2 a

Ist das sinnvoll?

Tut mir Leid für die Fragen, aber ich verstehe beim inhomogenen Teil nur Bahnhof

\frac{:}{}

MfG

Keroo

Roman-22

20:16 Uhr, 27.03.2017

>

Ist das sinnvoll?
Sinnvoll und notwendig, ja.
Und jetzt in die Angabe-DGL einsetzen.
Durch Vergleich der Koeffizienten von

x^{2}, x

und

x^{0}

auf beiden Seiten erhältst du dann Gleichungen für

a, b

und

c

Keroo aktiv_icon

22:10 Uhr, 27.03.2017

2a+4*2ax+b+5*(ax^2+bx+c)=

x^{2} + 4 x + 4

Ist das so gemeint?

Das mit dem Koeffizientenvergleich habe ich leider nicht ganz verstanden, muss ich zb rechts

4 x

mit links

8 x

vergleichen oder wie ist das gemeint?

Vielen Dank für eure Hilfe, ich habe mich erst heute hier registriert und bin begeistert :-)

MfG

Kero

ledum aktiv_icon

00:28 Uhr, 28.03.2017

Hallo
links und rechts soll doch das gleiche Polynom stehen, also muß

z . b

5 a = 1

sein,

2 a + 5 c = 4

und was bei

x

steht machst du selbst.
zur Probe kannst du dann das Polynom in die einhomogene Dgl einsetzen und sehen, dass sie erfüllt ist.

anderer Weg: das muss ja für alle

x

richtig sein,

d . h

. du kannst 3 verschiedene beliebige

x

einsetzen und die Gl. muss stimmen. natürlich wählt man möglichst "einfache"

x

. also etwa

0,1, - 1

aber alle anderen tun es auch.

Gruß ledum

Keroo aktiv_icon

15:06 Uhr, 28.03.2017

Hallo,

für

x

habe ich folgendes raus:

5 b + 8 a = 4

Wäre das bei dem anderen nicht

2 a + 4 b + 5 c = 4

? Sonst habe ich das

b

ja übrig oder bin ich da auf dem Holzweg?

MfG

Kero

ledum aktiv_icon

15:49 Uhr, 28.03.2017

Hallo
das hast du nicht für

x

raus, sondern es ist eine (richtige) Gleichung der 3 Gleichungen für

a, b, c

bei der dritten Gleichung hatte ich mich vertippt oder vertan, du hast mit deiner recht, also hast du es jetzt verstanden, dann hak bitte ab.
Gruß ledum

Keroo aktiv_icon

18:10 Uhr, 28.03.2017

Vielen Dank ledum ich habe es verstanden :-)

Danke an alle die geholfen haben

MfG

Kerp

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