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Polynomial regression

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agricola7

agricola7 aktiv_icon

23:01 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Hallo,

vorweg, ich bin ein absoluter Statistik-Leihe. Also bitte nicht brüllen sollte ich hier gewisse Grundzusammenhänge nicht sofort erkennen.

Ich habe einen Datensatz aus der Hydrologie in dem der Durchfluss eines Flusses an bestimmten Tagen meine x-Werte bildet und jedem dieser Werte wurde der dazu korrelierende gemessene Wasserstand zugeordnet.

Jetzt habe ich ein Polynom 2. Grades verwendet um eine Trendfunktion zu erstellen, die jedem Durchfluss einen Wasserstand zuordnet.

jetzt möchte ich mir den zu einer vorgegebenen Wasserhöhe entsprechenden Durchfluss berechnen. Löse ich jedoch die quadratische Gleichung erhalte ich zwei kompllexwertige Lösungen, mit denen ich nichts anfangen kann.

Meine Frage also: Kann ich jetzt einfach das ganze Spiel umdrehen und eine Ausgleichskurve erzeugen, die jedem Wasserstand einen Durchfluss zuordnet?
Antwort
maxsymca

maxsymca

23:14 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Eine Parabel ist eine Funktion

y=f(x)=a2 x^2 + a1 x + a0, f(durchfluss)=wasserstand (hab ich verstanden?)

was gibt es da aufzulösen.

Wenn Du die Umkehrfunktion f^-1 meinst, dann ist das eine Wurzelkurve und keine Funktion im eigentlichen Sinne...
Vielleicht passt Dein mathematisches Modell nicht - Potenzfunktion, log uä.
Bemühe R^2 das Bestimmtheitsmaß
Womit arbeitest Du?
agricola7

agricola7 aktiv_icon

03:38 Uhr, 03.12.2019

Antworten
ich versuche mein "Problem" zu konkretisieren:

Das Polynom y=-0,002x2+1,3475x+47,85. stellt den Wasserstand (y) in Abhängigkeit vom Durchfluss (x) dar.

Ich möchte jetzt wissen bei welchem Durchfluss ich einen Wasserstand von 261 cm erreiche.

Löse ich die quadratische Gleichung auf so erhalte ich eine komplexe Lösung für die Wasserhöhe von x=3,36±i32,47
Damit fange ich nichts an.

Jetzt habe ich x und y Werte vertauscht und ein NEUES Polynom 2ten Grade, dass mir nun diesmal den Durchfluss (y) in Abhängigkeit von der Wasserhöhe (x) angibt, berechnet: y=0,0031x2+0,1973x-12,947

Setze ich für mein x die 261 cm ein erhalte ich einen Durchfluss. 249,7m3s.

Wäre das eine Lösung
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

08:37 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Hallo,

eigentlich hat die Gleichung 0,002x2+1,3475x+47,85=261 zwei reelle Lösungen.

x1253,74 und x2420

Gruß

pivot


Antwort
maxsymca

maxsymca

12:05 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Kannst Du Deine Daten hier rein stellen oder sind die Topsecret?
Es entsteht der Eindruck, dass Du nur einen Abschnitt betrachtest der halt irgendwie krumm verläuft.
Nur was bei einer Parabel ansteigt kommt auch wieder runter...
Deine Parabel hat einen max. Wasserstand der bei höheren Durchflusswerten wieder abnimmt - scheint mir zumindest unwahrscheinlich, dass das der Realität entspricht?

Das ganze im Bild:
g(x) ungefähr nach Deiner Parabel modelierte Funktion (rot)
gespiegelte Punkte (grün) für die Umkehrfunktion - es werden einem Wasserstandswert 2 Durchflusswerte zugeordnet? Aber das hat pivot ja schon vorgerechnet....

h(x) Deine Parabel aus den gespiegelten Werten. Was die bei höheren Wasserständen wert ist siehst Du selber?


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agricola7

agricola7 aktiv_icon

13:14 Uhr, 03.12.2019

Antworten
das sind meine Daten und die dazugehörenden regressionen

Bzw. wenn ich die zwei regressionen betrachte habe ich bei der Funktion die den Durchfluss als Funktion des Wasserstandes beschreibt, ja einen viel besseren Fit.
Wäre es da nicht besser für die Ermittlung des Abflusses bei 261 cm Wasserstand diese zu verwenden?

Datensatz
tt
Pegelschlüssel
Antwort
maxsymca

maxsymca

13:24 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Naja, die bräuchte ich schon in verarbeitungsfähiger Form :-)...
Es besteht doch keine Veranlassung anzunehmen, daß bei steigendem Durchfluss der Wasserstand abnimmt - ich vermute, das Parabelmodel passt nicht...

Ich hab Dir mal eine Funktion gemacht, die mit den aufsteigenden Datenwerten meines Beispiels arbeitet f(x). Der Anstieg des Wasserstandes flacht ab nimmt aber weiter zu...
Bild2

> Funktion die den Durchfluss als Funktion des Wasserstandes beschreibt, ja einen viel besseren Fit
Weil das den Realitäten besser entspricht?
Dann rauscht aber der Druchfuß in schwindelnde Höhen bei höheren Wasserständen - das ist die Erfahrung, die im Umkehrfall fehlt.....

Edit: Ich hab mit Deinen Werten a weng gespielt - Bild1
Polynome gehen ins negative.Versuch mit Potenzfunktion h und die angepasst.
- hab den Wert (0.97,41,74) rausgenommen (Ausreisser?)

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Antwort
Roman-22

Roman-22

17:25 Uhr, 03.12.2019

Antworten
> Bzw. wenn ich die zwei regressionen betrachte habe ich bei der Funktion die den Durchfluss als Funktion des Wasserstandes beschreibt, ja einen viel besseren Fit.
> Wäre es da nicht besser für die Ermittlung des Abflusses bei 261 cm Wasserstand diese zu verwenden?

Na und ob!
Offensichtlich war es keine sonderlich gute Wahl, für den Wasserstand in Abhängigkeit vom Durchfluss eine quadratische Regression anzusetzen.
Vernünftiger wäre da vermutlich eine Logarithmus oder eine Wurzelfunktion. Also eine Funktion, die mit steigendem Durchfluss zwar immer größer wird, aber dennoch immer weniger stark steigt. Die quadratische Funktion erreicht ja irgendwann ihren Scheitel und würde ab da mit steigendem Durchfluss fallen, was ja recht unrealistisch ist.

Deinem gut passendem quadratischen Fit des Durchflusses in Abhängigkeit von der Höhe würde umgekehrt der Wurzel-Funktion
Wasserstand(Durchfluss)161,30,0124Durchfluss+0,2-31,8
entsprechen.

P.S.: Sooo schlecht wie du dachtest ist dein quadratischer Fit aber auch nicht, denn wie pivot schon geschrieben hat ergibt sich damit ebenfalls eine Durchfluss von rund 250m3s für einen Wasserstand von 261 cm.
Du hattest dich offenbar bei der Lösung der quadratischen Gleichung kräftig verrechnet!
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