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Polynomielle Gleichungen mit reellen Koeffizienten

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

anonymous

14:26 Uhr, 06.12.2018

Ich muss sagen, dass ich komplexe Zahlen eigentlich ziemlich einfach und überschaubar finde.. Bei dieser Aufgabe jedoch habe ich keinen Überblick..
Das komplex konjugierte von

z

ist ja nichts anderes als a-bi
Aber wie kriege ich den Beweis dieser Gleichung hin..?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:54 Uhr, 06.12.2018

Hallo,
wende auf die Gleichung (bis auf den einzelnen "Buchstaben" hinunter)
die folgenden Regeln für die Komplex-Konjugation an:

\overline{x + y} = \overline{x} + \overline{y}

und

\overline{x \cdot y} = \overline{x} \cdot \overline{y}

.
Bedenke dann, dass

\overline{x} = x

gilt, wenn

x

reell ist.
Gruß ermanus

anonymous

15:06 Uhr, 06.12.2018

"Bis auf die Buchstaben darunter" Damit meinst du den Index nehm ich mal an oder?
also soll ich

z^{n} + p \cdot z^{n - 1} + p \cdot z^{n - 2} + p \cdot z + p

jeweils getrennt komplex konjugieren?

Könntest du mir vllt ein Beispiel geben?

also

z^{n}

ist ja (a+bi)^n und

z^{n}

komplex konjugiert ist dann (a-bi)^n?

ermanus aktiv_icon

15:18 Uhr, 06.12.2018

Nein, ich meine: solange die Regeln anwenden, bis die Querstriche unmittelbar
über den Konstanten oder Variablen stehen, sozusagen über den "Atomen" der Formel.
Wenn also die Gleichung heißt

z^{2} + p z + q = 0

, dann Schritt für Schritt bis zur untersten Ebene:

0 = \overline{0} = \overline{z^{2} + p z + q} = \overline{z^{2}} + \overline{p z} + \overline{q} = {\overline{z}}^{2} + \overline{p} \cdot \overline{z} + \overline{q}

.
Jetzt stehen die Querstriche über den "Atomen" ...
"Man ist bis zu den 'Buchstaben' hinabgestiegen" ...

anonymous

19:23 Uhr, 06.12.2018

so, habe ich gemacht.. Und nun?
Jetzt komme ich nicht mit dem beweis weiter.. Also wie beweise ich, dass es sich um eine Lösung handelt?

Leider ist das Bild zu groß für den Anhang, deshalb hier ein Link:
picload.org/view/dclcwarr/img_6139.jpg.html

ermanus aktiv_icon

19:36 Uhr, 06.12.2018

Was ist denn

\overline{p_{n - 1}}, \dots, \overline{p_{0}}

anonymous

20:24 Uhr, 06.12.2018

wie macht man eigentlich diese Zeichen? Das ist das in der richtigen Schreibweise schreiben kann

Also p n-1 ... sind ja reelle Koeffizienten. Aber was das komplex konjugierte dann ist weiß ich nicht. Das gleiche?

ermanus aktiv_icon

20:59 Uhr, 06.12.2018

Das komplex konjugierte

\overline{x}

für reelles

x

ist doch

x

wieder selbst;
denn

x

hat ja dann die Form

a + 0 \cdot i

und das konjugierte davon ist

a - 0 \cdot i

,
also dasselbe, aber das habe ich ja bereits 14:54 Uhr mitgeteilt.
Damit bekommst du schlussendlich

0 = {\overline{z}}^{n} + p_{n - 1} {\overline{z}}^{n - 1} + \dots + p_{1} \overline{z} + p_{0}

,
d.h.

\overline{z}

ist eine Lösung der Ausgangsgleichung.

Wegen der Schreibweise: Ich weiß nur, wie man die Dinge im "Experten-Modus" schreibt,
z.B. für

\overline{a + b - c}

schreibt man dort \bar{a+b-c}.

Gruß ermanus

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