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Polynomkongruenz lösen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, Kongruenz, lösen, modulo, polynom

lena1989

11:07 Uhr, 29.05.2011

Hallo zusammen,

ich sitze gerade vor meinem Zahlentheorie-Übungsblatt und komm einfach nicht weiter :(.
Ich soll die Polynomkongruenz

x^{6} - 11 x^{4} + 36 x^{2} - 36 \equiv 0 m o d 135

lösen.

Mir ist klar, dass ich

135 = 3^{3} \cdot 5

schreiben kann und deshalb auch die beiden Kongruenzen

x^{6} - 11 x^{4} + 36 x^{2} - 36 \equiv 0 m o d 3^{3}

und

x^{6} - 11 x^{4} + 36 x^{2} - 36 \equiv 0 m o d 5

lösen kann.

Ich hab jetzt bei der ersten angefangen und kann da ja auch die Kongruenz

x^{6} - 11 x^{4} + 36 x^{2} - 36 \equiv 0 m o d 3

zuerst lösen.

Das habe ich umgeformt zu

x^{6} - 11 x^{4} \equiv 0 m o d 3

Für mich folgt daraus, dass

x \equiv 0 m o d 3

, also

x = 3 t_{1}

f^{ʹ} (x) = 6 x^{5} - 44 x^{3} + 64 x

, also gilt

f^{ʹ} (0) = 0

.
Jetzt ist mein Problem folgendes:

als Weg um diese Kongruenz zu lösen hab ich folgendes gefunden:

x \equiv x 1 m o d p

unter

f^{ʹ} (x 1)

nicht durch p teilbar, dann ist x eine einzige Lösung modulo p.
dann setze

x = x 1 + p t 1

und ermittle die modulo p eindeutig bestimmte Lösung t1' der linearen Kongruenz

\frac{f (x 1)}{p} + f^{ʹ} (x 1) \cdot t 1 \equiv 0 m o d p

Bei meiner Lösung gilt aber ja, dass 3 die 0 teilt. Hab ich da einen Fehler drinnen? Oder was bedeutet das sonst?

Vielen Dank,
lena

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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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