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Polynomring Primelement hat grad 1 oder 2
Universität / Fachhochschule
Polynome
Ringe
Tags: polynom, Ring
 
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Beweisen Sie, dass der Grad eines Primelements in gleich 1 oder 2 ist. Hinweis: Fundamentalsatz der Algebra Hinweis: ist hierbei das polynom mit komplex konjugierten Koeffizienten zu habe keinen Ansatz und keine Idee, wie die Hinweise mir nutzen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, suche die Aussage des Fundemantalsatzes heraus! Nimm dann ein reelles(!) Polynom höheren als 1. Grades. Verwende den Fundamentalsatz, dann den Hinweis und schlussfolgere das, was du zeigen sollst. Mfg Michael |
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also, die Aussage des Fundamentalsatz ist, dass jedes nicht konstante Polynom in eine Nullstelle in hat. dazu ist zu jeder nicht reellen Nullstelle auch das Konjugiert Komplexe eine Nullstelle. Jedes Polynom lässt sich schreiben als wobei die komplexen Nullstellen sind. Also (mit dem 2.Hinweis) Aber was hat das jetzt mit Primelementen zu tun oder bin Ich auf dem Holzweg? |
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Hallo, sorry, ich bin in meiner Antwort gradmäßig um 1 verrutscht. Ok, nehmen wir her mit . Der Fundamentalsatz garantiert eine Nullstelle , der Hinweis letztlich eine etwaige weitere Nullstelle , jedenfalls sofern . Damit teilen sowohl , als auch das Ausgangspolynom . Ich konzentriere mich hier mal weiter auf den Fall einer nicht reellen Nullstelle . Falls reell, kannst du vielleicht selbst ausarbeiten. Dann (wenn nicht reell), teilt mit und auch deren Produkt unser . Aus Gradgründen () muss es also ein Polynom geben mit . Wegen und , ist reell, somit auch . Aus Gradgründen (sicher hattet ihr so etwas, dass der Grad eines Produktes gleich der Summe der Grade der Faktoren ist, sofern keiner der Faktoren Null ist) kann aber weder noch gelten. Mithin kann also nicht prim sein. Auf diese Weise beweist du, dass kein Primelement einen größeren Grad als 2 hat. Für den Rest musst du noch nachweisen, dass Elemente vom Grad aus eben doch Primelemente sind. Bekommst du das hin? Mfg Michael |
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Hi, vielen Dank nochmal. Dann war also der Hinweis nur dafür da, dass zu jeder Komplexen Nullstelle, auch das komplex konjugierte Nullstelle ist..wie immer denke Ich viel zu kompliziert... soweit habe Ich das verstanden. Da Elemente vom grad 0 Einheiten sind reicht es doch, 2 beispiele vom grad 1 und grad 2 zu nehmen, und zu zeigen dass diese Prim sind, so ist die Aussage bewiesen...(wobei, streng genommen müsste Ich das nichtmals, denn wenn es keine Primelemente gäbe, wäre die Aussage doch war, dass alle grad 1 oder 2 haben, oder? ) Zu den Polynomen mit reeller Nullstelle vom grad nochmal: kann Ich denn da den Linearfaktor auch einfach herausteilen, da ja nicht algebraisch abgeschlossen ist? |
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Hallo, ok, es reicht, wenn du zusätzlich "erwähnst", dass Elemente des Grades 0 Einheiten sind. Einheiten sind keine Primelemente. Im Falle einer reellen Nullstelle kannst du eigentlich die meisten Teile erneut verwenden. Lies dir die Sache mit dem Grad durch. Dass nicht algebraisch abgeschlossen ist, hat mit der Sache eigentlich nichts zu tun. Mfg Michael |
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