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Polynomzerlegung

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angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

 
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valentina2013

valentina2013 aktiv_icon

19:05 Uhr, 09.01.2015

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Hallo,

ich muss folgende Aufgabe verstehen/lösen und bitte euch um Hilfe:

Betrachte f=x4-24x2+25x-6 als Polynom in ℝ[x] für unterschiedliche Ringe ℝ. Zerlegene sie f in ein Produkt irreduziebler Polynome aus ℝ[x] für ℝ=ℚ,ℝ=ℝ,ℝ=ℤ/2ℤ,ℝ=ℤ/3ℤ und ℝ=ℤ/5ℤ

Mein Ansatz:um das Polynom zu zerlegen kann ich in ℝ=ℤ/2ℤ,ℝ=ℤ/3ℤ und ℝ=ℤ/5ℤ die Zahlen der Restklasse einsetzen und so die Nullstellen bestimmen,und dann aufgrund des Zerlegungssatzes das Polynom in folgenden Faktoren zerlegen (x–Nullstelle1) usw... was ich aber nicht verstehe: was bedeutet denn ℝ=ℚ,ℝ=ℝ und wie finde ich da die Nullstellen?

Danke sehr




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:52 Uhr, 09.01.2015

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ℚ sind rationale Zahlen, ℝ sind reelle Zahlen.
Deshalb ist falsch ℝ=ℚ zu schreiben. In dieser Aufgabe ist R ein allgemeines Ring, daher darf man ihn nicht mit ℝ bezeichen, dieses Zeichen ist für reelle Zahlen reserviert.

Um rationale und reelle Nullstellen zu finden, hilft dieses Resultat:
wenn der Hauptkoeffizient =1 (wie in diesem Fall) und alle Koeffizienten ganz sind, dann sind alle rationale Nullstellen ganz und teien den freien Koeffizienten (den bei Potenz 0).
Siehe auch hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
valentina2013

valentina2013 aktiv_icon

20:12 Uhr, 09.01.2015

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Verstehe ich richtig? Dann sollen nur 1,2,3 und 6 die Teiler sein,aber keine von denen ist die Nullstelle,bedeutet das dass das Polynom irreduziebel ist?
Das Polynom kann ich in (x2+5x-2)(x2-5x+3) zerlegen weiss aber nicht in welcher Restklassen-Gruppe(Die in Aufgaben genannten) es hingehört.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:42 Uhr, 09.01.2015

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"bedeutet das dass das Polynom irreduziebel ist?"

Natürlich nicht, Du hast es doch selber zerlegt:
(x2+5x−2)(x2−5x+3). Diese Zerlegung gilt in ℝ[X] und ℚ[X] und sie "induziert" auch Zerlegungen in ℤ/2ℤ[X], ℤ/3ℤ[X] und ℤ/5ℤ[X] - z.B. in ℤ/5ℤ[X] wird daraus (x2+3)(x2+3), weil 5=0 und -2=3 in ℤ/5ℤ.

"Das Polynom kann ich in (x2+5x−2)(x2−5x+3) zerlegen weiss aber nicht in welcher Restklassen-Gruppe(Die in Aufgaben genannten) es hingehört."

Was Du damit meinst, verstehe ich leider nicht.
valentina2013

valentina2013 aktiv_icon

21:57 Uhr, 09.01.2015

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Eine Frage hätte ich noch: die Zerlegung in ℝ[x] und ℚ[x] kann ich nachvolziehen aber ich verstehe nicht wie es in ℤ/2ℤ,ℤ/3ℤ und ℤ/5ℤ zerlegbar ist. Kannst du es bitte erklären?

Danke sehr für dein Geduld ;-)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:06 Uhr, 09.01.2015

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Nun, alle Gleichungen, welche in ℤ gelten, gelten auch in ℤ/nℤ für beliebiges n, nur muss man dabei alle Zahlen modulo n nehmen. Das folgt direkt aus der Konstruktion von ℤ/nℤ.
Demzufolge ist x4-24x3+25x-6=(x2+5x−2)(x2−5x+3) in jedem ℤ/nℤ. In ℤ/2ℤ wird daraus x4+x=(x2+x)(x2+x+1), denn -24=0, 25=1, -6=0 usw. Das ist dann keine endgültige Zerlegung, denn x2+x=x(x+1). Genauso geht es in anderen Fällen.

Übrigens, (x2+5x−2)(x2−5x+3) ist auch in ℝ[x] keine endgültige Zerlegung, x2+5x−2 und x2−5x+3 sind zerlegbar, weil sie reelle Nullstellen haben.
Frage beantwortet
valentina2013

valentina2013 aktiv_icon

22:08 Uhr, 09.01.2015

Antworten
Danke sehr ;-)