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Polynomzerlegung

Universität / Fachhochschule

Tags: polynom, Zerlegen

Balaezth aktiv_icon

09:37 Uhr, 20.10.2017

Hallo,
nachdem meine erste Frage so super beantwortet wurde habe ich gleich noch eine.

Es geht um:

25 x^{3} + 15 x^{2} - 9 x + 1

mit größerem Abstand steht hinter der Aufgabe

(x + 1); (x - 0,2)

Die Aufgabenstellung heisst:
Zerlegen sie das folgende Polynom vollständig in ein Produkt.

Mein Problem ist, ich habe wirklich absolut keine Ahnung was ich hier machen soll.
Sowas habe ich einfach noch nie gemacht.

Im Internet habe ich mir viel zu "Polynomdivison" und all sowas angeschaut aber wirklich kapiert habe ich nichts.

Bei vielem wurde auch etwas gesagt von "Nullstellen herausfinden". Ich weiß nicht mal was das ist.

Kann mir das vielleicht jemand erklären?

MfG
Balaezth

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

09:48 Uhr, 20.10.2017

x + 1

sagt, dass

- 1

eine Nullstelle ist, was auch leicht zu verifizieren ist.
Da

- 1

eine Nullstelle ist, ist das Polynom durch

x + 1

teibar.
Also musst Du Polynomdivision machen. Das Ergebnis wird ein quadratisches Polynom sein, wessen Nullstellen mit der Mittenachtformel zu finden sind. Dann hast Du noch zwei Nullstellen

x_{2}

und

x_{3}

(eine davon wird

0.2

sein) und deshalb die Zerlegung

(x + 1) (x - x_{2}) (x - x_{3})

michaL aktiv_icon

09:49 Uhr, 20.10.2017

Hallo,

wenn die Aufgabe lauten würde:
"Zerlegen Sie die folgende Zahl vollständig in ein Produkt.
72 3;4"

Was würdest du denn dann machen?

Mfg Michael

Balaezth aktiv_icon

10:08 Uhr, 20.10.2017

@Dr. Boogie

- 1

ist eine Nullstelle weil man das

- 1

anstelle des

x

einsetzt und dann

- 1 + 1

bekommt, richtig?

Und

x

ist das

x^{3},

das

x 2

ist dann

x^{2}

und das

x 3

ist

x

? Oder wie habe ich das zu sehen?

@ Michal

Ich weiß es wird falsch sein aber ein Produkt ist ja das Ergebnis einer Multiplikation also würde ich

72 : 3 = 24

Damit wäre dann

3 \cdot 24

mein Ergebnis? Vielleicht?

Wie gesagt, ich habe das ganze NIE gemacht.
Ich habe meine Hauptschule damals von über

10

Jahren gemacht und mich nun entschieden meinen Techniker nachzuholen, dort wird sowas benötigt.

DrBoogie aktiv_icon

10:15 Uhr, 20.10.2017

" ist eine Nullstelle weil man das anstelle des einsetzt und dann bekommt, richtig?"

Nein.

- 1

ist eine Nullstelle von

25 x^{3} + 15 x^{2} - 9 x + 1

, weil

25 (- 1)^{3} + 15 (- 1)^{2} - 9 (- 1) + 1 = - 25 + 15 + 9 + 1 = 0

.

"Und ist das das ist dann und das ist ? Oder wie habe ich das zu sehen?"

x^{3}

ist

x \cdot x \cdot x

und

x^{2}

ist

x \cdot x

x_{2}

und

x_{3}

haben nichts damit zu tun.

x_{2}

und

x_{3}

sind die Nullstellen,

x_{2} = 0.2

und

x_{3}

musst Du noch rausfinden.

Wie man Polynomdivision macht (Rechnung mit Erklärung):
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

Balaezth aktiv_icon

10:37 Uhr, 20.10.2017

Aber woher weißt du das es 3 Nullstellen gibt, und nicht zwei oder vier?
Und woher weißt du das es sich um ein quadratisches Polynom handelt?

DrBoogie aktiv_icon

11:01 Uhr, 20.10.2017

"Aber woher weißt du das es 3 Nullstellen gibt, und nicht zwei oder vier?"

Ein Polynom des Grades

n

hat höchstens

n

Nullstellen. Daher kann es nicht

4

geben. Es kann aber nur

2

geben, das bedeutet troztdem nicht, dass die Darstellung

(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})

nicht stimmt. Z.B. hat

(x - 1) (x - 2) (x - 2)

nur zwei Nullstellen:

1

und

2

.

"Und woher weißt du das es sich um ein quadratisches Polynom handelt?"

Wenn man Polynom des Graden

n

durch ein Polynom des Grades

m

teilt, ist das Ergebnis vom Grad

n - m

.

Vielleicht solltest Du einfach ein bisschen Theorie lesen.

Balaezth aktiv_icon

12:36 Uhr, 20.10.2017

Das versuche ich hier ja zu bekommen. Hilfe um zu verstehen wie es funktioniert.

ledum aktiv_icon

13:17 Uhr, 20.10.2017

Hallo
1. wenn du drei lineare Ausdrücke multiplizierst und so eine Funktion erzeugst also :

f (x) = (x - a) \cdot (x - b) \cdot (x - c)

bekommst du immer ein Polynom dritten Grades.
2.

f (x) = 0

bei

x = a

und

x = b

und

x = c,

wie man durch einsetzen sieht.
3. wenn du den Ausdruck oben ausmultiplizierst zu: f(x)=x^3-(a+b+c)*x^2+(ab+ac+bc)*x-abc und jemand gibst, wobei du für

a, b, c

auch Zahlen einsetzen kannst,

z, B, a = - 1

kann er die Nullstellen nicht mehr so leicht sehen, wenn du ihm aber sagst, dass a eine Nullstelle ist kann er das ausmultiplizierte Polynom durch

(x - a)

teilen und es bleibt ein quadratisches Polynom über, das er dann lösen kann. Damit hat er dann das Polynom in Faktoren zerlegt.
4. ein Polynom 3. ten Grades hat IMMER mindestens eine reelle Nullstelle, weil für große positive und negative

x

nur noch

x^{3}

eine Rolle spielt,

d . h

es ist sicher irgendwo positiv und irgendwo negativ, hat also dazwischen mindestens eine Nullstelle. wenn es eine zweite hat, muss es auch eine dritte haben wobei eine auch doppelt sein kann.
Beispiele

: (x^{2} + 1) \cdot (x + 1)

hat nur die Nullstelle

x = - 1

(x^{2} - 1) \cdot (x + 1) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 1)

hat eine doppelte Nullstelle bei

x = - 1

und eine bei

x = - 1

(x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 13)

hat 3 verschiedene Nullstellen.
meine Beispiele kannst du ausmultiplizieren , und dann durch eine Null stelle teilen um sie wieder zu einem Produkt zu machen.
lies das sorgfältig durch, das sollte alle deine Fragen klären.
Gruß ledum

Balaezth aktiv_icon

15:00 Uhr, 20.10.2017

Okay also ich habe jetzt mal etwas gerechnet...

Die erste Null-Stelle bekommt man scheinbar durch "raten"... okay...

25 x^{3} + 15 x^{2} - 9 x + 1 : (x + 1) = 25 x^{2} - 10 x + 1

Das habe ich dann einmal in diese Mitternachtsformel eingegben:

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \frac{- (- 10) \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}

= \frac{- (- 10) \pm 0}{50}

= 0,2

Um auf Nummer sicher zu gehen habe ich das auch noch in die PQ-Formel eingegeben und es kam das selbe Ergebnis heraus.

Das heisst ja die zweite Nullstelle ist

0,2

(Wurde ja schon gesagt - nie angezweifelt)

Wenn ich nun rechne:

25 x^{3} + 15 x^{2} - 9 x + 1 : (x - 0,2) = 25 x^{2} + 20 x - 5

Wenn ich dies nun in die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel eingebe bekomme ich die Werte

0,2

und

- 1

heraus

Was ja alles schon erwähnt wurde...
Was ich nun nicht verstehe ist wieso bekomme ich bei der einen Rechnung 2 Werte und bei der anderen nur 1 Wert.
Und kann es sein das es keine dritte Nullstelle gibt?
Aber viel wichtiger was mache ich denn nun damit um die Aufgabe (Zerlegen Sie das Polynom vollständig in ein Produkt) zu lösen.

Edit:
Wenn mir

(x + 1); (x

0,2)

sagt das bei -

1; 0,2

jeweils Nullstellen sind und ich jetzt nur als BEISPIEL bei einer Rechnung den Wert 3 herausbekommen dann würde mir

(x

3)

sagen das dort eine Nullstelle ist, richtig?

abakus

15:45 Uhr, 20.10.2017

"Was ich nun nicht verstehe ist wieso bekomme ich bei der einen Rechnung 2 Werte und bei der anderen nur 1 Wert."

Es gilt 25x³+5x²+9x+1=25(x+1)(x-0.2)(x-0.2).

Somit bekommst du, wenn du -1 schon erraten hast, hinterher nur noch 0.2 heraus.
Hast du hingegen 0.2 erraten, bekommst du aus dem übrigbleibenden quadratischen Term -1 UND (erneut) 0.2 heraus.

Du hast also auf beiden Wegen zwei verschiedene Nullstellen, wovon eine (die 0.2) doppelt auftritt.

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