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Populationsentwicklungen Matrizen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Maikäferpopulation, Matrizenrechnung

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22:48 Uhr, 31.03.2014

Leute ich brauche driiiiingend eure Hilfe ! Es ist sehr wichtig, dass ich die Aufgabe löse,also bitte helft mir

! : (

Aufgabenstellung :
In Abständen von 3 bis 4 Jahren fliegen in einigen Gebieten besonders viele Maikäfer aus,obwohl die Maikäfer als selten und vom Aussterben bedroht gelten. Man spricht dann auch von Flugjahren.

Wir betrachten die Anzahl der weiblichen tiere einer Population jedes Jahr im Mai.

In einer Modellannahme gehen wir davon aus, dass innerhalb eines Jahres folgendes passiert :
Das Weibchen legt Eier, aus denen sich pro Tier ca

40

einjährige Engerlinge entwickeln.

30 %

der einjährigen Engerline entwickeln sich zuzweijährigen Engerlingen.
Von den zweijährigen Engerlingen entwickeln sich

30 %

zu dreijährigen Engerlingen, und nur

0,2 %

der zweijährigen Engerlinge verpuppen sich und schlüpfen als weibliche Käfer.

60 %

der dreijährigen Engerlinge entwickeln sich zu weiblichen Käfern.
Eine fiktive Modellpopulation hat einen aktuellen Stand von

800

weiblichen Käfern,

200

einjährige Engerlingen,

200

zweijährigen Engerlingen und

100

dreijährigen Engerlingen.

Aufgabe :

Bestimmen sie die Anzahle (insbesondere der weiblichen Maikäfer) für die nächsten

16

Jahre, erläutern sie das Phänomen der Flugjahre.

Untersuchen sie,in welchen Jahren die Population der Maikäfer besonders bedroht ist.
Erläutern sie, warum trotzdem kaum Gefahr besteht, dass die Maikäfer aussterben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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07:47 Uhr, 01.04.2014

Die Population eines Jahres kann als Vektor mit 4 Komponenten

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix})

beschrieben werden, wobei

x_{1}

die Zahl der weiblichen Käfer,

x_{2}

die Zahl der einjährigen Engerlinge, usw. angibt. Ausgangslage ist also

(\begin{matrix} 800 \\ 200 \\ 200 \\ 100 \end{matrix})

.
Mit den angegebenen Übergangsquoten ergeben sich daraus die Zahlen des nächsten Jahres(z.B. bei

x_{2}

das 40fache des vorherigen

x_{1})

. Das kannst du als Abbildung

ℝ^{4}

nach

ℝ^{4}

durch eine

4 x 4 -

Matrix beschreiben.

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18:09 Uhr, 01.04.2014

Also die ersten ansätze habe ich gut verstehen können.
Nur genau das Wichtige, unszwar die Entwicklung im nächsten jahr habe ich nicht verstanden.
Wie komme ich auf die Werte, mit denen ich das nächste und übernächste Jahr usw berechnen kann ?
Vielen Dank im Voraus. Ich bin wirklich auf Ihre Hilfe angewiesen.

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18:09 Uhr, 01.04.2014

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18:09 Uhr, 01.04.2014

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18:09 Uhr, 01.04.2014

prodomo aktiv_icon

06:15 Uhr, 02.04.2014

Du musst die Angaben in der Aufgabenstellung in Gleichungen übertragen. Wenn

\vec{x}

der Zustand des Ausgangsjahres und

\vec{y}

der des Folgejahres ist, gilt:

y_{2} = 40 \cdot x_{1},

weil jedes Weibchen

40

einjährige Engerlinge produziert

y_{3} = 0,3 \cdot x_{2},

weil sich

30 %

der einjährigen Engerlinge zu zweijährigen entwickeln

y_{4} = 0,3 \cdot x_{3},

weil sich

30 %

der zweijährigen Engerlinge zu dreijährigen entwickeln

y_{1} = 0,002 \cdot x_{3} + 0,6 \cdot x_{4}

. Das ist die Summe aus den zwei Entwicklungslinien zu fertigen Weibchen.
Als Matrix geschrieben:

\vec{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0,002 & 0,6 \\ 40 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,3 \end{matrix}) \cdot \vec{x}

. Gleiches gilt für alle Jahre. Du musst also

A^{2}, A^{3},

usw. betrachten, wenn A die Matrix ist. Multiplikation von Matrizen müsstest du beherrschen, sonst hättest du nicht diese Aufgabe bekommen. Vielleicht darfst du ja auch einen CAS-Rechner benutzen..
Die

0,002

in der ersten Zeile hat praktisch keine Wirkung, so klein ist sie gegenüber dem Rest. Im Wesentlichen wird die Entwicklung von der

40

bestimmt, die durch 4 Folgejahre "durchwandert", bis das Ergebnis wieder in Zeile 1 steht. Das ist dann ein Flugjahr.

mervey aktiv_icon

13:39 Uhr, 02.04.2014

ok super vielen Dank das hat mir wirklich viel geholfen.
Allerdings habe ich noch eine letzte Frage :

Wie kann ich feststellen, in welchen Jahren die Population bedroht ist ?
von welcher Zahl hängt diese ab ?
Und warum besteht kein Gefahr,dass die Maikäfer aussterben ?

prodomo aktiv_icon

16:04 Uhr, 02.04.2014

Das ist eher Biologie, dafür bin ich nicht zuständig...Selbst, wenn die weiblichen Tiere in einem Jahr komplett von einer Seuche dahingerafft werden, sind immer noch Engerlinge im Boden. Es müssten also schon mehrere schlechte Jahre hintereinander folgen, um auch die nächsten Generationen der weiblichen Tiere auszurotten.Zum Vergleich:

A^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0,0006 & 0 & 0,18 \\ 0 & 0 & 0,08 & 24 \\ 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,09 \end{matrix})

Wenn du diese Matrix auch gefunden hast, ist die Multiplikation richtig.

prodomo aktiv_icon

16:05 Uhr, 02.04.2014

A^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0,0006 & 0 & 0,18 \\ 0 & 0 & 0,08 & 24 \\ 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,09 \end{matrix})

Wenn du diese Matrix auch gefunden hast, ist die Multiplikation richtig.

prodomo aktiv_icon

17:22 Uhr, 02.04.2014

Sorry, hatte einen Tippfehler. in der letzten Zeile der Matrix muss die

0,3

an der dritten Stelle stehen, die letzte Zahl ist die 0.
Als kleine Wiedergutmachung:

A \cdot \vec{x} = (\begin{matrix} 60,4 \\ 32000 \\ 60 \\ 60 \end{matrix})

A^{2} \cdot \vec{x} = (\begin{matrix} 36,12 \\ 2416 \\ 9600 \\ 18 \end{matrix})

A^{3} \cdot \vec{x} = (\begin{matrix} 30 \\ 1444,8 \\ 724,8 \\ 2880 \end{matrix})

A^{4} \cdot \vec{x} = (\begin{matrix} 1729,4496 \\ 1200 \\ 433,44 \\ 217,44 \end{matrix})

Die Zahlen müssten noch gerundet werden, aber wichtig ist, dass die größte Zahl schrittweise durch die Zeilen wandert

mervey aktiv_icon

19:39 Uhr, 02.04.2014

Ich habe eine Matrix aufgestellt und sie mit dem neuen vektor, den ich bekommen habe, für die nächsten

16

jahre weitergerechnet.

ich verstehe nun nicht, wie und warum sie auf die zweite matrix gekommen sind

Anbei finden sie meine Matrix und die rechnung für das

2,

und 3Jahr

Wk für weibliche Käfer,

e

für einjährige

E, z

für zweijährige Engerlinge,

d

für dreijährige Engerlinge

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19:41 Uhr, 02.04.2014

Rechnung :

prodomo aktiv_icon

11:38 Uhr, 03.04.2014

Bei

A^{2} \cdot \vec{x}

ist dir in der dritten Zeile ein Fehler passiert, es muss

9600

statt

960

heißen. Ab wann man runden darf und wie, ist nicht ganz so einfach. Natürlich gibt es keine

0,2

Maikäfer, aber die Zahlen in der Matrix geben ja auch nur Mittelwerte an. Bei jeder Rundung macht man einen kleinen Fehler. Ist davon

z . B

. die Zahl der Weibchen betroffen, so wird der Fehler beim nächsten Mal

40

mal so groß....
Aber das Prinzip hast du richtig umgesetzt.

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