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Populationsentwiklickungen

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cool2000

cool2000 aktiv_icon

21:10 Uhr, 20.10.2019

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Hallo, bei folgender Aufgabenstellung ist es schwer die Matrix also Teil von 1 zu schaffen, ich würde mich freuen, wenn jemand mir da Helfen könnte.



Ein Computervirus kommt in drei Zuständen vor: Er ist Bestandteil einer E-Mail und verursacht dort zunächst keinen Schaden (Z1). Im Laufe eines Monats werden 10% der sich in E-Mails befindlichen Viren aktiviert und beginnen das Betriebssystem zu verändern (Z2). Die übrigen verbleiben in dem Zustand (Z1). Nur jeder Fünfte dieser aktivierten Viren (Z2) wechselt innerhalb eines Monats in den 3. Zustand (Z3). Die restlichen aktivierten Viren löschen sich selbst. Im 3. Zustand verschickt der Virus innerhalb eines Monat 25 infizierte E-Mails und zerstört sich anschließend selbst durch Formatierung der Festplatte.


Zu Beginn des Jahres 2019 erhielten 5600 Einwohner einer Stadt A eine infizierte E-Mail. Der Internetprovider sieht zwei Möglichkeiten diesen Virus zu bekämpfen. Bekämpfungsalternative A:80% der infizierten E-Mails werden auf dem Wege zum Empfänger herausgefiltert und unschädlich gemacht. Bekämpfungsalternative B: Eine andere Möglichkeit die Verbreitung der Viren einzudämmen, besteht darin, einen Teil der infizierten E-Mails auf dem Computer zu löschen.

Aufgaben

1. Untersuchen Sie die ungehemmte langfristige Entwicklung des Computervirus mit den Mitteln der Matrizen- und Vektorrechnung für die Stadt A. Berechnen Sie auch den Bestand im jetzigen Monat. Stellen Sie die Entwicklung graphisch dar und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachkontext der Aufgabe.
2. Untersuchen Sie, wie sich die Entwicklung des Computervirus durch das Eingreifen der Internetprovider mittels der Alternative A verändert, indem Sie eine neue Matrix aufstellen und eine stabile Verteilung bestimmen.

3. Ermitteln Sie für die Alternative B eine neue „Überlebensrate“ der Viren im Zustand 1(Z1), so dass eine stabile Verteilung existiert. Stellen Sie die Matrix auf und bestimmen Sie die stabile Verteilung.
4. Ermitteln Sie für beide Alternativen einen stabilen Bestand ausgehend von den 5600 Anfangsmails. Berechnen Sie, wann der stabile Bestand jeweils erreicht wird.
5. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachkontext.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

01:12 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hallo,

eine "ungehemmte" monatliche Wechselmatrix kann man
schonmal recht leicht definieren.

Sei dazu

Zm=(Z1mZ2mZ3m)

der die Virenpopulation für einen Monat m
beschreibende Vektor, dann gilt

Zm+1=WZm

mit der Matrix

W=(910025110000150).

In den Termen von Zm+1 findet man dann das
durch den Fließtext beschriebene Virenverhalten wieder:

Zm+1=WZm=(Z1m+1=910Z1m+25Z3mZ2m+1=110Z1mZ3m+1=15Z2m)

Lies z.B. für Z1m+1:

910(90%) der Z1m verbleiben in Z1 und die Z3m
verfünfundzwanzigfachen sich vor ihrer anschließenden Apoptose
(vorprogrammierter Zelltod) zu neuen Z1m+1.

So, nun warte ich auf ein wenig Konversation.
Fragen ? Fehler ?

Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

02:22 Uhr, 23.10.2019

Antworten
Kein Interesse ?
Gut, wer nicht will, der hat schon,
hat meine Oma immer gesagt...

Da ich die Aufgabe aber recht interessant finde,
möchte ich doch noch ein paar Erkenntnisse besteuern,
vielleicht interessiert es ja wen...

Bei der Abwehrmaßnahme A werden 80% der 25
von einem Z3er entsandten Mails abgefangen.
In der Matrix WA hierzu findet man dann also

(1-810)25=21025=1525=5

dort, wo in W die 25 steht:

WA=(91005110000150).

Nun den Eigenraum von WA zum Eigenwert 1 bestimmen
(die "stabilen Verteilungen"):

Für einen solchen Eigenvektor Zm0 und die Einheitsmatrix E gilt

WAZm=EZm(E-WA)Zm=0E-WA=0, da Zm0,

also Gauß-Verfahren für

(1100-5-110100-151)

(1100-501-50-151)

(1100-501-5000).

Die Eigenvektoren von WA zum Eigenwert 1
sind also die Elemente des Eigenraumes

S={q(5051)R3:qR0}

(es gilt ZmSWAZm=Zm).



Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

03:43 Uhr, 23.10.2019

Antworten
Neuer Beitrag, da die Eingabe mit wachsendem Text immer langsamer wird...

Für Abwehrmechanismus B, bei dem schlummernde Z1er gelöscht werden,
ergibt sich dann als Ansatz

WB=(910-p025110000150),

wobei p noch so zu bestimmen ist, dass es stabile Verteilungen
(Eigenvektoren von WB zum Eigenwert 1) gibt.

Gleiches Spiel wie zuvor (Gaußsches Eliminationsverfahren)

(110+p0-25-110100-151)

(110+p0-25p1-250-151)

(110-10p1-250-151)

(110-10p0-200-151)

liefert den gleichen Eigenraum S wie von WA sowie

50p-20=0p=25.

Somit

WB=(12025110000150).





Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

04:46 Uhr, 23.10.2019

Antworten
Bezüglich der Konvergenzverhalten kann man zunächst recht leicht
die folgenden rekursiven Gleichungen angeben:

Ungehemmt:

Z1m+3=Z1m+910(Z1m+2-59Z1m)=12Z1m+910Z1m+2.

Abwehrmaßnahme A, Abfangen:

Z1m+3=Z1m+910(Z1m+2-Z1m).

Abwehrmaßnahme B, Löschen:

Z1m+3=Z1m+12(Z1m+2-Z1m).

Sie passen recht gut zu den Werten im Anhang.
W geht natürlich ab gen unendlich,
WA konvergiert recht brav,
während WB sich länger quirlig verhält,
dafür aber eine kleinere Virenpopulation anstrebt.
Die beiden stabilen Verteilungen sind wie erwartet
Vielfache von

(5051).

Explizite Funktionen und Limitesberechnungen
werde ich noch zu entwickeln versuchen und
hier bei Erfolg posten...

EMailVirus_Populationen
EMailVirus_Populationen_36
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

19:04 Uhr, 24.10.2019

Antworten
Ich versuch mal ein Standardverfahren, um eine Funktion Z1(m) zu WA herzuleiten.
Ich hab das noch nie auf den Komplexen gemacht, kann also nur schiefgehen...

x3-910x2-110=(x-1)(x2+110x+110)=(x-1)(x+120-3920i)(x+120+3920i)



Z1(m)=(a1+b1i)1m-1+(a2+b2i)(v+wi)m-1+(a3+b3i)(v-wi)m-1

mit v=-120,w=3920.

Anfangswerte...

(a1+b1i)10+(a2+b2i)(v+wi)0+(a3+b3i)(v-wi)0=5600

(a1+b1i)11+(a2+b2i)(v+wi)1+(a3+b3i)(v-wi)1=5040

(a1+b1i)12+(a2+b2i)(v+wi)2+(a3+b3i)(v-wi)2=4536



a1+a2+a3=5600,b1+b2+b3=0

a1+b1i+(a2+b2i)(v+wi)+(a3+b3i)(v-wi)=5040

a1+b1i+(a2+b2i)(v2-w2+2vwi)2+(a3+b3i)(v2-w2-2vwi)2=4536



Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

19:54 Uhr, 24.10.2019

Antworten
a1+a2+a3=5600

b1+b2+b3=0

a1+a2v+a3v-b2w+b3w=5040

a2w-a3w+b1+b2v+b3v=0

a1+a2(v2-w2)+a3(v2-w2)-2b2vw+2b3vw=4536

2a2vw-2a3vw+b1+b2(v2-w2)+b3(v2-w2)=0

Als Matrix

(111000560000011101vv0-ww50400w-w1vv01v2-w2v2-w20-2vw2vw453602vw-2vw1v2-w2v2-w20)



(111000560000011100v-1v-10-ww-5600w-w1vv00v2-w2-1v2-w2-10-2vw2vw-106402vw-2vw1v2-w2v2-w20)



(111000560001-11wvwvw0002v-2-v+1w-w2-v2+vww2-v2+vw-560002v2-2w2-2-v2+w2+1w-v3+vw2+v-2vw2w-v3+vw2+v+2vw2w-10640001-2v-w2-v2-w2-v200001110)







Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

23:28 Uhr, 24.10.2019

Antworten
(111000560001-11wvwvw0001-12w-w2-v2+v2wv-2ww2-v2+v2wv-2w-280v-1001-12w-v2w-vwv2-w2-1-v2w+vwv2-w2-1-532v2-w2-10001-w2-v21-2v-w2-v21-2v00001110)



(111000560001-11wvwvw0001-12w-w2-v2+v2wv-2ww2-v2+v2wv-2w-280v-100011100000-v2w-vwv2-w2-1--w2-v2+v2wv-2w-v2w+vwv2-w2-1-w2-v2+v2wv-2w-532v2-w2-1+280v-10000-w2-v21-2v-1-w2-v21-2v-10)



(111000560001-12039-139-1390001-10391039273-3137800300011100000-403915334039153316000730000-1211-12110)


Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

06:39 Uhr, 25.10.2019

Antworten


b3=160007315338039=1400313

b2=-1400313

b1=0

a3=10392731400313+31371400313+8003=1820091+8003=14003

a2=14003-1391400313+1391400313=14003

a1=5600-28003=140003.

Also

Z1(m)=140003+(14003-1400313i)(-120+3920i)m-1+(14003+1400313i)(-120-3920i)m-1.

Test... Bingo !



Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

08:18 Uhr, 25.10.2019

Antworten
Noch kurz was zum Limes von Z1(m) und somit von WA...

|(14003-1400313i)(-120+3920i)m-1+(14003+1400313i)(-120-3920i)m-1|

|(14003-1400313i)||(-120+3920i)|m-1+|(14003+1400313i)||(-120-3920i)|m-1
=214002(313+19)(110)m-1
=280040117(110)m-1
<12

560040117<10m-1

m>ln(560040117)ln(10)+18.0302501835942

Nach 8 Monaten weicht WA weniger als einen halben Z1er
von der stabilen Verteilung

(1400034666,614003466,6280393,3)

ab.

Vielen Dank für diese tolle Aufgabe !




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