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Pos. Definitheit der Integralnorm

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Norm

Moe93 aktiv_icon

22:58 Uhr, 16.12.2017

Hi allerseits,

ich soll zeigen, dass

f

die Nullfunktion ist, sofern

\int_{a}^{b} | f (x) | d x = 0

ist. (Eine Norm auf dem VR

V)

Allerdings ist die Aussage klar, daher weiß ich nicht, was ich großartig beweisen soll.

Mein Ansatz:

Mit der Dreiecksungleichung gilt:

| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x = 0

Also folgt wegen

| \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq 0,

dass

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

ist. Nun muss noch gezeigt werden, dass

f

die Nullfunktion ist. Es ist aber

| f (x) | \geq 0

,also muss

f

die Nullfunktion sein.

Danke im Voraus

Moe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Moe93 aktiv_icon

23:06 Uhr, 16.12.2017

Ergänzung:

f

ist eine stetige reellwertige Funktion auf

[a, b]

Shipwater aktiv_icon

23:42 Uhr, 16.12.2017

Hi,

ich verstehe nicht warum du

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

zeigst. Beachte, dass alleine daraus nicht

f \equiv 0

auf

[a, b]

folgt, siehe zum Beispiel

\int_{- 1}^{1} x d x = 0

. Man muss also schon mit

\int_{a}^{b} | f (x) | d x = 0

arbeiten. Du musst nun begründen warum für ein stetiges

f : [a, b] \to ℝ

aus

\int_{a}^{b} | f (x) | d x = 0

schon

f \equiv 0

auf

[a, b]

folgt.

Moe93 aktiv_icon

23:50 Uhr, 16.12.2017

Vielen Dank für deine Antwort!

Mir ist bewusst, dass dann daraus nicht folgt, dass

f

die Nullfunktion ist (Dein Beispielt zeigt es ja). Ich dachte, ich umgehe das wegen

| f (x) | \geq 0

. Nur hat das eine nichts mit dem anderen zu tun, vermute ich mal?

Hast du einen Tipp für mich?
Vielleicht könnte man irgendwas mit dem Hauptsatz des Int. und Diff.rechnung machen,

d . h

. mit der Stammfunktion arbeiten? Die Voraussetzungen sind ja erfüllt.

Shipwater aktiv_icon

00:00 Uhr, 17.12.2017

| f (x) | \geq 0

ist doch für jede Funktion erfüllt, weil der Betrag immer nichtnegativ ist, insofern sehe ich nicht was du meinst.

Ich hätte einfach die Stetigkeit ausgenutzt: Angenommen

| f (x_{0}) | > 0

für ein

x_{0} \in [a, b]

dann hast du wegen der Stetigkeit auch ein

δ > 0

mit

| f (x) | \geq \frac{| f (x_{0}) |}{2}

für alle

x \in [a, b] \cap [x_{0} - δ, x_{0} + δ]

(wenn eine stetige Funktion an einer Stelle

x_{0}

positiv ist, dann gibt es schon eine ganze Umgebung von

x_{0}

in der die Funktion positiv ist). Damit lässt sich nun

\int_{a}^{b} | f (x) | d x > 0

zeigen, also ein Widerspruch.
Mit dem Hauptsatz kann man jedoch tatsächlich einen kürzeren Beweis führen, falls dir das lieber ist. In meinem Beweisvorschlag sieht man aber dafür anschaulich schön was passiert.

Moe93 aktiv_icon

13:49 Uhr, 17.12.2017

Vielen Dank nochmal für deine Antwort.

Ich dachte, man schließt vielleicht den Beweis damit ab, dass man sagt, dass eben

| f (x) |

wegen des Betrags immer nichtnegativ ist - unwichtig!

Ich verstehe den Sinn deines Beweises nicht und vor allem nicht, wenn man mit den Vorüberlegungen zeigen soll, dass das Integral von a bis

b

dann größer Null ist.
Also du nimmst dir eine

δ

-Umgebung um

x_{0}

und setzt voraus, dass

| f (x_{0}) | > 0

ist, um den Widerspruch zu führen. Dann ist

f (U_{δ} (x_{0})) > 0

.
Aber was soll man mit

| f (x) | \geq \frac{| f (x_{0}) |}{2}

anfangen? Also im eindimensionalen ist das anschaulich klar, ich wüsste nicht, wie ich diese Ungleichung im weiteren Verlauf nutzen sollte.
Tut mir leid, wenn ich etwas schwer von Begriff bin. Ich glaube, die Sache mit der Stetigkeit ist im ersten bzw. zweiten Semester immer etwas, was nicht leicht fällt.

Wie dem auch sei:

Zum Beweis mittels Hauptsatz:

Die Voraussetzungen sind ja gegeben, wie gesagt, also:

0 = \int_{a}^{b} | f (x) | d x = F (b) - F (a),

wobei

F

die Stammfunktion ist. Daraus folgt

F (b) = F (a)

. Das bringt mir reichlich wenig.

Shipwater aktiv_icon

14:33 Uhr, 17.12.2017

Unser Ziel ist ja

f (x) = 0

für

x \in [a, b]

zu zeigen. Ich führe dann einen Widerspruchsbeweis: Angenommen

f (x_{0}) \neq 0

für ein

x_{0} \in [a, b],

dann ist

| f (x_{0}) | > 0

. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man (da

f

stetig) sogar

x_{0} \in (a, b)

annehmen, das macht den weiteren Beweis weniger technisch. Wegen der Stetigkeit findest du dann ein

δ > 0,

so dass

| f (x) | \geq ε := \frac{| f (x_{0}) |}{2}

für alle

x \in [x_{0} - δ, x_{0} + δ],

wobei wir

δ

dabei so klein wählen, dass

[x_{0} - δ, x_{0} + δ] \subseteq [a, b]

(dafür braucht man

x_{0} \in (a, b),

also dass

x_{0}

kein Randpunkt von

[a, b]

ist). Der Witz ist nun, dass du

| f (x) | \geq ε

für

x \in [x_{0} - δ, x_{0} + δ]

hast. Damit kannst du das Integral

\int_{a}^{b} | f (x) | d x

nach unten abschätzen:

\int_{a}^{b} | f (x) | d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} | f (x) | d x

und nun benutze hier

| f (x) | \geq ε,

um weiter abzuschätzen.

Du brauchst den anderen Teil vom Hauptsatz: Ist

g : [a, b] \to ℝ

stetig, so ist

G (t) = \int_{a}^{t} g (x) d x, t \in [a, b]

differenzierbar mit

G' (t) = g (t)

für

t \in [a, b]

. Wende das nun auf die stetige Funktion

g (x) = | f (x) |, x \in [a, b]

an.

Moe93 aktiv_icon

14:53 Uhr, 17.12.2017

Es genügt also schon, zu sagen:

\int_{a}^{b} | f (x) | d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} - + δ} | f (x) | d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} \frac{| f (x_{0}) |}{2} > 0

für

x \in U_{δ} (x_{0})

Shipwater aktiv_icon

15:01 Uhr, 17.12.2017

Du hast keine Abhängigkeit von

x

mehr, man erhält einfach

\int_{a}^{b} | f (x) | d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} | f (x) | d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} ε d x = 2 δ ε > 0,

also den erwünschten Widerspruch.

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