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Position von Flugzeugen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Abstand

airwaves1 aktiv_icon

16:25 Uhr, 27.02.2010

Zur Beschreibung der Position von Flugzeugen im Luftraum wird ein kartesisches Koordinatensystem benutzt. Die als eben angenommene Erdoberfläche liegt in der xy Ebene. Die Flugbahn des Flugzeuges $F 1$ verläuft geradlinig durch die Punkte $P (0; 15; 8)$ und $Q (2; 13; 8)$ . Für jedes $k$ mit kEN und 0<(gleich)k<(gleich)20 verläuft einegeradlinige Flugbahn des Flugzeuges $F 2$ durch die Punkte Sk(15;-2,5;k/2) und Tk(30;-10;k)

$a)$ Ermitteln sie die Werte von $k,$ wo die Bahnen der Flugzeuge einen Abstand von $< 1$ haben.

Mein Ansatz: Ich habe mir 2 Punkte der Bahnen hergenommen, $P$ und Tk. Deren Abstand soll 1 sein. Also $1 = \sqrt{30 ² + 25 ² + (k - 8) ²}$ Aber irgendwie kann das k was da bei mir rauskommt nicht hinhauen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade

michael777 aktiv_icon

21:48 Uhr, 27.02.2010

für beide Flugzeuge die Geradengleichungen aufstellen (beide Flugzeuge fliegen geradlinig)

dann muss man den Abstand der beiden windschiefen Geraden berechnen, dieser soll kleiner als 1 sein

Flugzeug 1:
Gerade PQ:

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 15 \\ 8 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

Flugzeug 2:
Gerade

S_{k} T_{k} : \vec{x} = (\begin{matrix} 15 \\ - 2.5 \\ \frac{k}{2} \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 15 \\ - 7.5 \\ \frac{k}{2} \end{matrix})

Abstand dieser beiden windschiefen Geraden

< 1 :

| (\begin{matrix} 15 \\ - 17.5 \\ \frac{k}{2} - 8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - k \\ - k \\ 15 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{\sqrt{k^{2} + k^{2} + 15^{2}}} | < 1

der erste Vektor ist der Differenzvektor der beiden Ortsvektoren der Geraden
der zweite Vektor ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren (entspricht dem Normalenvektor, wenn man die Ebenengleichung aufstellen würde)
das Skalarprodukt muss noch durch den Betrag des Normalenvektors dividiert werden (wie bei der Hesse-Normalform der Ebene)

| \frac{10 k - 120}{\sqrt{225 + 2 k^{2}}} | < 1

ich habe folgende 3 Funktionen mit dem GTR zeichnen lassen:

f_{1} (x) = \frac{10 k - 120}{\sqrt{225 + 2 k^{2}}}

f_{2} (x) = 1

f_{3} (x) = - 1

dann habe ich geschaut für welche x-Werte

- 1 < f_{1} (x) < 1

ist (entspricht Betrag

< 1)

als Lösung habe ich

10 < x < 14

und somit als Lösung der Aufgabe:

10 < k < 14

maxsymca

22:41 Uhr, 27.02.2010

Hm,
ich hab für den Abstand

d = \frac{| (k - 48) |}{\sqrt{2 \cdot k^{2} + 36}}

d < 1 \Rightarrow [k < - 6 \cdot \sqrt{127} - 48], [k > 6 \cdot \sqrt{127} - 48]

Für Deine

k

sieht in einem Plott die Gerade etwas zu weit weg aus...
Hast Du mal den Abstand für Deine

k

berechnet?

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