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Positiv definit

Universität / Fachhochschule

Tags: Eigenwert, Lineare Algebra

anonymous

13:21 Uhr, 27.03.2014

Hallo,

meine Aufgabe lautet: Für welche Werte

α

ist die quadratische Form

q

positiv definit?

q (x, y, z) = x^{2} + 8 y^{2} + z^{2}

-4xy

+ 2 \cdot α \cdot y \cdot z

Ich habe so angefangen, dass ich diese Matrix dazu finde:

(\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 \\ - 2 & 8 & α \\ 0 & α & 1 \end{matrix}) = A

Dann wollte ich die Eigenwerte bestimmen, indem ich bei der Diagonalen immer

- λ

dazuschreib und die Determinante berechne.

Dann komme ich auf die Form

- λ^{3} - 10 λ^{2} - 17 λ + 4 - α^{2} = 0

Stimmt das soweit?Also macht man das so oder ist ein anderer Weg besser?
Wie kann ich jetzt das mit den Werten für

α

berechnen?

Danke schonmal :-) LG

DrBoogie aktiv_icon

13:33 Uhr, 27.03.2014

Vielleicht besser nicht über Eigenwerte gehen, sonder über Hauptminoren:
denn "eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren von A positiv sind".
Was die Hauptminoren sind, siehe hier: de.wikipedia.org/wiki/Positiv_definit

Aber in Wirklichkeit geht es am einfachsten direkt mit

q (x, y, z)

, denn man kann so umformen:

q (x, y, z) = (x - 2 y)^{2} + (y + α z)^{2} + 3 y^{2} + (1 - α^{2}) z^{2}

. Damit also

q (x, y, z)

immer positive Werte hat (außer für x=y=z=0), muss auch der letzte Term positiv sein...

anonymous

13:42 Uhr, 27.03.2014

Super, danke, dass mit den Hauptminoren schaut ganz verständlich aus, werde ich gleich probieren! :-)

Noch eine Frage, zu dem "Per Definition":
Meine Matrix A ist die Matrix, die, wenn man von links und rechts mit

x, y, z

multipliziert auf die quadratische Form

q

kommt. Aber wie sehe ich dann, ob es positiv definit ist?

Vielen Dank :-)

DrBoogie aktiv_icon

13:45 Uhr, 27.03.2014

Siehe meine korrigiierte Antwort von oben.
Mit "links-rechts multiplizieren" war es ein Humbug, denn dadurch bekommen wir nur wieder

q (x, y, z)

zurück.

anonymous

14:10 Uhr, 27.03.2014

Super, danke, hab es jetzt mit den Hauptminoren gemacht, das geht ganz einfach.

Danke nochmal für die tolle Antwort :-) Lg

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