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Positiv definit nachweisen

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Determinant, Eigenwert, Körper, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, polynom

 
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Jen57

Jen57 aktiv_icon

07:35 Uhr, 09.01.2021

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Hallo,

es seien a,b,c Element von R. Man rechne mit Simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen explizit nach: falls a > 0 und ac- b^2 > 0, ist die Matrix positiv definit.

(a b)
(b c)

*soll eine 2x2 Matrix darstellen hier, wusste nicht wie ich hier Matrix darstelle

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:25 Uhr, 09.01.2021

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Keine Ahnung, wozu hier überhaupt Umformungen nötig sind. A ist positiv semidefinit, wenn xAxt>0 für alle x≠0, also in diesem Fall ax12+2bx1x2+cx22>0.
Sei jetzt a>0 und ac>b2.
1. Falls x2=0 haben ax12>0, weil a>0 und x1≠0.
2. Falls x2≠0, teilen durch x2:
a(x1x2)2+2bx1x2+c. Wegen ac>b2 hat die Gleichung ay2+2by+c=0 keine reelle Nullstellen (Mitternachtformel). Also ay2+2by+c>0 für alle y. Insbesondere für y=x1x2. Damit haben a(x1x2)2+2bx1x2+c>0.

Somit xAxt>0 bewiesen.

Jen57

Jen57 aktiv_icon

13:22 Uhr, 10.01.2021

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Hallo!

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Jedoch muss ich die Aufgabe mit Zeilen- und Spaltenumformungen machen. Könntest du mir bitte zeigen, wie das damit gehen würde?

Vielen Dank im Voraus!
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:43 Uhr, 10.01.2021

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Wenn a≠0, dann wird 2. Zeile durch 1. Zeile - b/a mal 2. Zeile ersetzt und dann die 2. Spalte durch 1. Spalte - b/a mal 1. Spalte
Also aus
(a b)
(b c)
wird
(a b)
(0 c-b^2/a)
und dann
(a 0)
(0 c-b^2/a)
Fur die positiv Definitheit müssen beide a und c-b2/a positiv sein.

Denn Fall a=0 muss man noch extra betrachten.
UPDATE. Ah, doch nicht, denn a>0 nach Voraussetzung.

Frage beantwortet
Jen57

Jen57 aktiv_icon

16:11 Uhr, 18.01.2021

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Super, vielen Dank!