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Positiv definite Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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Kurve

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20:26 Uhr, 08.10.2019

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Hallo,

ich komme auf unterer Folie mit 2 Sachen nicht kanz klar.
Habe die Adjungierte hier mal mit ' gekennzeichnet

1. Die obere Herleitung.
- Es gilt doch für jede Matrix: x'(Ax) =(x'A)x=(A'x)'x, oder? Erst im letzten Schritt muss man die Eigenschaft der hermitischen Matrix benutzen.
- Wie läuft das mit der Konjugation in der Zweiten Zeile im letzten Schritt ab (d.h. da wo der Konjugationsstrich weggelassen wird)? Und warum weiß man dann, dass der Ausdruck reell ist? Wie kommt man dann von dieser Erkenntniss auf die Definition der positiv definiten Matrix (z.B. geht man bei der Herleitung ja von einer hermitischen Matrix aus und in der Defintion von einer symmetrischen)?

2. Warum weiß ich, dass in "Corollary" alle Diagonalelemente positiv sind?

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke vorab :-)


Unbenannt
Antwort
ledum

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22:17 Uhr, 08.10.2019

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Hallo
wenn das konjugierte einer Zahl = der Zahl ist, ist sie reell
zu 2 der Beweis steht doch da, da x^*Ax>0 für Alle x also auch für die Einheitdbasisvektoren (1,0,0...,0)A(1,0,0,..,0)Tz. B gibt a11>0 usw für die anderen ei entsprechend
Gruß ledum
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ermanus

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22:32 Uhr, 08.10.2019

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Hallo,
auch ich finde die zweite Zeile eher unklar.
Ich würde die Gleichheit x*Ax=x*Ax so begründen:
x*Ax ist ein Skalar (sozusagen eine "1×1-Matrix"),
daher gilt (x*Ax)T=x*Ax, daraus ergibt sich

x*Ax=(x*Ax)T=(x*Ax)*=x*A*x**=x*Ax, da A*=A.

Gruß ermanus
Kurve

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23:22 Uhr, 08.10.2019

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@ledum: Achso, c11 ist das Element a11 der Matrix A. Dann ist das klar, vielen Dank.

EDIT:
@ermanus: Ok, dann ist die Herleitung klar. Aber was hilft uns das für die Definition
Antwort
ermanus

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08:34 Uhr, 09.10.2019

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Hallo,
wenn x*Ax nicht reell wäre, gäbe die Forderung
x*Ax>0 für alle xV,x0, keinen Sinn.
Gruß ermanus
Frage beantwortet
Kurve

Kurve aktiv_icon

14:27 Uhr, 09.10.2019

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Achso, alles klar.

Vielen Dank!