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Positive Definitheit beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Rekursionsformel

anonymous

21:42 Uhr, 01.12.2018

Hallo,

Die Folge

{(E_{2 \cdot k})}_{k \in N}

sei definiert durch

E_{0} := 1, E_{2 \cdot k} := - \sum_{l = 1}^{k} (\begin{matrix} 2 \cdot k \\ 2 \cdot l \end{matrix}) {(- 1)}^{l} \cdot E_{2 \cdot (k - l)}

für alle

k > 0

.

Man beweise, dass

E_{2 \cdot k} > 0

für alle k∈N.

(Die ersten sechs Folgenglieder sind

z . B

E_{0} = 1, E_{2} = 1, E_{4} = 5, E_{6} = 61, E_{8} = 1385

und

E_{10} = 50521 .)

anonymous

21:49 Uhr, 01.12.2018

Ein hinreichender Beweis (Dank an "Eddi") wäre,
zu zeigen, dass

(\begin{matrix} 2 \cdot k \\ 2 \cdot l \end{matrix}) \cdot E_{2 \cdot (k - l)} > (\begin{matrix} 2 \cdot k \\ 2 \cdot (l + 1) \end{matrix}) \cdot E_{2 \cdot (k - (l + 1))}

mit

1 \leq l < k

und

l

ungerade.

Ich werde hier nach und nach ein wenig mit dieser Formel werkeln -
fühlen Sie sich aber frei, dazwischen zu funken...

\Leftrightarrow

E_{2 \cdot k - 2 \cdot l} > \frac{(2 \cdot k - 2 \cdot l) \cdot (2 \cdot k - 2 \cdot l - 1)}{(2 \cdot l + 2) \cdot (2 \cdot l + 1)} \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2}

\Leftrightarrow

- \sum_{m = 1}^{k - l} (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \cdot m \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{m} \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \cdot m} > a \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2}

mit

a := \frac{(2 \cdot k - 2 \cdot l) \cdot (2 \cdot k - 2 \cdot l - 1)}{(2 \cdot l + 2) \cdot (2 \cdot l + 1)}

anonymous

08:01 Uhr, 02.12.2018

\Leftrightarrow

- \sum_{m = 2}^{k - l} (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \cdot m \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{m} \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \cdot m} > (a - (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \end{matrix})) \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2}

\Leftrightarrow

\sum_{m = 1}^{k - l - 1} (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \cdot m + 2 \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{m} \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \cdot m - 2} > b \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2}

mit

b := a - (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \end{matrix})

\Leftrightarrow

\sum_{m = 1}^{k - l - 1} (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \cdot m + 2 \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{m} \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \cdot m - 2}

>

- b \cdot \sum_{m = 1}^{k - l - 1} (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \\ 2 \cdot m \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{m} \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \cdot m - 2}

anonymous

18:03 Uhr, 02.12.2018

\Leftrightarrow

\sum_{m = 1}^{k - l - 1} ((\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \cdot m + 2 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \\ 2 \cdot m \end{matrix})) \cdot {(- 1)}^{m} \cdot E_{2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \cdot m - 2}

> 0

Wiederum hinreichend wäre nun, zu zeigen, dass

((\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l \\ 2 \cdot m + 2 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} 2 \cdot k - 2 \cdot l - 2 \\ 2 \cdot m \end{matrix})) \cdot {(- 1)}^{m} > 0

für alle

1 \leq m \leq k - l - 1

anonymous

20:07 Uhr, 02.12.2018

Was aber leider so nicht klappt,
weshalb der hinreichende Ansatz von Eddi ganz oben
aber nicht widerlegt ist.

Was nun ?

Anders packen, andere Formel, Quantentheorie ?

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