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Potenreihe, Konvergenzradius, Beweis

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Tags: Folgen, Reihen

Lexiii92 aktiv_icon

16:12 Uhr, 04.12.2012

Hey zu meiner Aufgabe

Für

α \in ℝ

definiert man

(\begin{matrix} α \\ 0 \end{matrix}) := 1

und

(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) := \prod_{k = 1}^{n} \frac{α - k + 1}{k}, n \in ℕ

Nun soll ich beweisen, dass

a)

Die Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) z^{n}

hat den Konvergenzradius

R = 1

für

α \in ℝ

(\)

ℕ_{0}

und

R =

? für

α

ℕ

.(Klammer um Backslash bzw. "ohne", weil es sonst verschwand)

b)

Es gilt

\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) x^{n} = {(1 + x)}^{α}

für alle

x \in] - R, R [

.

Hinweis zu

b)

Ist

f (x) := \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) x^{n}

und

g (x) := {(1 + x)}^{α},

so gilt (?)

(1 + x) f' (x) = α f (x)

und

(1 + x) g' (x) = α g (x)

. Welchen Wert hat

(\frac{f}{g})' (x)

?

Danke an alle Interessenten.

Also wir haben die Behauptung

a)

und die Behauptung

b)

Nun es ist einer meiner ersten Beweise. Man soll ja immer sauber zuerst behaupten und dann begründen. Wie gehe ich jetzt da heran? Es ist ziemlich komplex und neu für mich. Fangen wir mit

a)

an. Die Summe läuft von 0 bis

\infty

für

(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) z^{n}

und wie geht's weiter?

Lieber Gruß Lexiiii

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:40 Uhr, 04.12.2012

Hallo,

zur Berechnung des Konvergenzradius habt Ihr doch sicher mal über so etwas wie ein Quotientenkriterium gesprochen. Versuch doch mal das anzuwenden.

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

18:17 Uhr, 04.12.2012

Hab es mir im Kerner von Wahl angeguckt. Also es sei

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

eine Reihe mit

a_{n} \neq 0

für alle

n \in ℕ

. Wenn ein

q \in ℝ

existiert mit

0 < q < 1

und

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \leq q

für alle

n \in ℕ,

dann konvergiert

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

absolut.

Beweis: Es ist

| a_{1} | \leq | a_{0} | \cdot q, | a_{2} | \leq | a_{1} | \cdot q \leq | a_{0} | \cdot q^{2}

und

| a_{n + 1} | \leq | a_{n} | \cdot q \leq ... | a_{0} | \cdot q^{n + 1}

Es happert schon daran, dass mir dieser Beweis unverständlich ist. Das überträgt sich also auch auf meine Aufgabe.

pwmeyer aktiv_icon

08:19 Uhr, 05.12.2012

Hallo,

um das Kriterium anwenden zu können, braucht man den Beweis nicht verstehen - allerdings solltest Du Dich auch darum bemühen.

Meine Frage war, ob Ihr in der Vorlesung / Übung über die Berechnung des Konvergenzradius bei Potenzreihen gesprochen habt.

Jedenfalls kannst Du ja schon mal

a_{n} = (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix})

setzen und den Quotienten

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

bearbeiten

(d . h

. kürzen, was zu kürzen geht).

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

09:28 Uhr, 05.12.2012

Ja hatten wir. Der Konvergenzradius ist sowas wie eine Potenzreihe.

In der Form

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(z - z_{o})}^{n}

bzw.

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}

R :=

SUP

{

| z - z_{0} | | \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(z - z_{0})}^{n}

ist konvergent

}

heißt der Konvergenzradius von

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(z - z_{0})}^{n}; R = \infty

Supremum heißt obere Schranke, also ein größter Wert.

Jedenfalls kann ich

a_{n} = (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix})

setzen und den Quotienten bestimmen ? Wie würde der erste Schritt lauten ? Bzw. wie sähe die Form aus, dann würde ich es versuchen.

Cadence aktiv_icon

09:49 Uhr, 05.12.2012

a_{n} := (\begin{matrix} a \\ n \end{matrix})

hast du in der aufgabenstellung gegeben und jetzt in

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

einsetzen und kürzen ;-)

Lexiii92 aktiv_icon

10:06 Uhr, 05.12.2012

Dann habe ich ja

\frac{(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) + 1}{(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix})} = \frac{(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix})}{(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix})} + \frac{1}{(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix})} = 1 + \frac{1}{(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix})}

Cadence aktiv_icon

13:48 Uhr, 05.12.2012

das ist nicht richtig,zum einen heißt es

a_{(n + 1)}

und zum anderen ließ dir die Aufgabenstellung nochmal genau durch ! Was ist dein

a_{n}

Lexiii92 aktiv_icon

20:49 Uhr, 05.12.2012

Mein

a_{n}

ist

\sum_{n = 0}^{\infty}

nein aucht nicht

: (

Was ist denn nun das

a_{n}

wir haben das

α

über

n

gegeben bzw. definiert aber

a_{n}

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