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Potential Vektorfeld

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Tags: Potential, Vektorfeld

halloechen aktiv_icon

18:05 Uhr, 09.07.2017

Hallo, ich bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.
Berechnen sie das Potential des Vektorfeldes:

f : ℝ^{3} \to ℝ^{3} :

((z*sin(xz)e^y+yz*cos(xyz)-yz^2+2),(-cos(xz)e^y+xz*cos(xyz)-xz^2),(x*sin(xz)e^y+xy*cos(xyz)-2xyz))^T

Eigentlich muss ich ja den ersten Term im Vektorfeld nach

x

integrieren, aber irgendwie weiß ich nicht wie ich da verfahren soll:

\int z \cdot sin (x \cdot z) \cdot e^{y} + y \cdot z \cdot cos (x \cdot y \cdot z) - y \cdot z^{2} + 2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

18:35 Uhr, 09.07.2017

Hallo
du behandelst für die Integration nach

x y

und

z

wie Konstanten, dann hast du nur sin(ax) und

cos (b (x)

zu integrieren und eine Konstante, das solltest du schaffen. die Integrationskonstante ist dann von

y

und

z

abhängig, also

C (y, z)

Gruß ledum

halloechen aktiv_icon

19:51 Uhr, 09.07.2017

Wie soll ich das integrieren? Mit partieller Integration???

ledum aktiv_icon

22:08 Uhr, 09.07.2017

Hallo
ich verstehe die Frage nicht. hast du meinen post wirklich gelesen? du integrerst doch nur nach x?
Gruß ledum

halloechen aktiv_icon

22:14 Uhr, 09.07.2017

Ja ich habe ihren post gelesen. Ich meine aber, dass ich nicht weiß wie ich den Term nach

x

integrieren soll. Wie sie gesagt haben, behandelt man

y

und

z

wie eine KOnstante. Aber

z . B

bei dem Ausdruck

z \cdot sin (x \cdot z) \cdot e^{y}

. Normalerweise integriert man doch diesen Ausdruck mit partieller Integration oder nicht? Oder was wäre von diesem Term die Stammfunktion nach x?

DerDepp aktiv_icon

22:21 Uhr, 09.07.2017

Hossa :-)

Du hast das Vektorfeld

\vec{A}

und suchst dazu ein passende Potential

Φ

\vec{A} = (\begin{array}{c} z \sin (x z) e^{y} + y z \cos (x y z) - y z^{2} + 2 \\ - \cos (x z) e^{y} + x z \cos (x y z) - x z^{2} \\ x \sin (x z) e^{y} + x y \cos (x y z) - 2 x y z \end{array}) = (\begin{array}{c} y z \cos (x y z) \\ x z \cos (x y z) \\ x y \cos (x y z) \end{array}) - (\begin{array}{c} y z^{2} \\ x z^{2} \\ 2 x y z \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 + z \sin (x z) e^{y} \\ - \cos (x z) e^{y} \\ x \sin (x z) e^{y} \end{array})

Man "sieht" sofort, dass die ersten beiden Vektoren Gradienten sind, und kann vereinfachen:

\vec{A} = grad (\sin (x y z)) - grad (x y z^{2}) + (\begin{array}{c} 2 + z \sin (x z) e^{y} \\ - \cos (x z) e^{y} \\ x \sin (x z) e^{y} \end{array})

Der verbliebene Vektor ist etwas fummelig, aber auch nicht die Welt. Das zugehörige Potential sei

φ

. Dann wissen wir:

\frac{\partial φ (x, y, z)}{\partial x} = 2 + z \sin (x z) e^{y} \Rightarrow φ (x, y, z) = 2 x - \cos (x z) e^{y} + f (y, z)

Bis auf eine Funktion

f (y, z)

ist das

φ

damit schon mal bestimmt. Machen wir mit der y-Komponente weiter:

- \cos (x z) e^{y} = \frac{\partial φ (x, y, z)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2 x - \cos (x z) e^{y} + f (y, z)) = - \cos (x z) e^{y} + \frac{\partial f (y, z)}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial f (y, z)}{\partial y} = 0

Offenbar hängt die fehlende Funktion

f (y, z)

nicht von

y

ab. Mal sehen, ob und wie sie von

z

abhängt:

x \sin (x z) e^{y} = \frac{\partial φ (x, y, z)}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (2 x - \cos (x z) e^{y} + f (y, z)) = x \sin (x z) e^{y} + \frac{\partial f (y, z)}{\partial z} \Rightarrow \frac{\partial f (y, z)}{\partial z} = 0

Die fehlende Funktion

f (y, z)

hängt also nicht von

y

und nicht von

z

ab. Damit haben wir

φ

gefunden:

\vec{A} = grad (\sin (x y z)) - grad (x y z^{2}) + grad (2 x - \cos (x z) e^{y})

Das gesamte gesuchte Potential ist also:

Φ = \sin (x y z) - x y z^{2} + 2 x - \cos (x z) e^{y}

halloechen aktiv_icon

01:50 Uhr, 10.07.2017

Vielen Dank für Ihre Mühe. Ich hätte da aber noch eine Frage und zwar wie erkennt man, dass die ersten zwei Vektoren Gradienten sind???

pwmeyer aktiv_icon

08:37 Uhr, 10.07.2017

Hallo,

mein Rat an Halloechen: Vergiss den Rat von Depp. Dabei handelt es sich um eine spezielle Situation, die der Depp aufgrund seiner Erfahrung erkannt hat.

Du solltest dem Rat von ledum folgen.

Du hängst an der Integration von

z \cdot sin (x \cdot z) \cdot e^{y}

bezglich x? Das ist einfach

(z

und

y

gelten ja für diesen Schritt als Konstante.

- cos (x \cdot z) \cdot e^{y}

Gruß pwm

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