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Potential einer homogen geladenen Kugel

Universität / Fachhochschule

Tags: homogen, Potential

TestAccount1245 aktiv_icon

23:04 Uhr, 06.06.2015

Hallo!

Bei dieser Aufgabe steig ich komplett aus. Ich weiß
nicht wie ich beginnen soll, geschweige denn wie ich das rechnen soll.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

P.S. Ihr habt mir heute schon sehr viel geholfen.
Großes Lob an dieses Forum. Ihr erklärt das alles super,
und gebt euch total viel Mühe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

DerDepp aktiv_icon

20:18 Uhr, 07.06.2015

Hossa :-)

Zu berechnen ist das elektrische Potential

Φ (\vec{r}) = \int_{V} d V^{'} \frac{ρ ({\vec{r}}^{'})}{∣ \vec{r} - {\vec{r}}^{'} ∣}

im Inneren einer homogen geladenen Kugel. Die Ladungsdichte ist also unabhängig vom Ort

{\vec{r}}^{'}

innerhalb der Kugel. Der Radius der Kugel sei

R

und ihre Gesamtladung sei

Q

. Dann gilt für die Ladungsdichte:

ρ ({\vec{r}}^{'}) = \frac{Q}{\frac{4}{3} π R^{3}} = \frac{3 Q}{4 π R^{3}}

Der Einfachheit halber erfolgt die Berechnung des Integrals in Kugelkoordinaten:

{\vec{r}}^{'} = (\begin{array}{c} r^{'} \sin Θ \cos ϕ \\ r^{'} \sin Θ \sin ϕ \\ r^{'} \cos Θ \end{array}); d V^{'} = {r^{'}}^{2} \sin Θ d r^{'} d Θ d ϕ; r^{'} \in [0; R], Θ \in [0; π], ϕ \in [0; 2 π]

Da die Kugel im Inneren homogen ist, sieht sie vom Ursprung betrachtet in allen Richtungen gleich aus. Das Potential hängt daher nur vom Betrag des Vektors

\vec{r}

ab, nicht von dessen Richtung, also:

Φ (\vec{r}) = Φ (r)

. Zur einfachen Berechnung reicht es also völlig aus,

\vec{r}

entlang der

z

-Achse zu legen:

{∣ \vec{r} - {\vec{r}}^{'} ∣}^{2} = {∣ {\vec{r}}^{'} - \vec{r} ∣}^{2} = {∣ (\begin{array}{c} r^{'} \sin Θ \cos ϕ \\ r^{'} \sin Θ \sin ϕ \\ r^{'} \cos Θ \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ r \end{array}) ∣}^{2}

= ({r^{'}}^{2} \sin^{2} Θ \cos^{2} ϕ) + ({r^{'}}^{2} \sin^{2} Θ \sin^{2} ϕ) + ({r^{'}}^{2} \cos^{2} Θ - 2 r r^{'} \cos Θ + r^{2}) = {r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} \cos Θ + r^{2}

Das zu berechnende Integral lautet also:

Φ (r) = \frac{3 Q}{4 π R^{2}} \int_{0}^{R} d r^{'} \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{π} d Θ \frac{{r^{'}}^{2} \sin Θ}{\sqrt{{r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} \cos Θ + r^{2}}}

Wir fangen mit der Integration über

Θ

an:

\int_{0}^{π} \frac{{r^{'}}^{2} \sin Θ}{\sqrt{{r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} \cos Θ + r^{2}}} d Θ = \frac{r^{'}}{r} \int_{0}^{π} \frac{2 r r^{'} \sin Θ}{2 \sqrt{{r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} \cos Θ + r^{2}}} d Θ = \frac{r ʹ}{r} {[\sqrt{{r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} \cos Θ + r^{2}}]}_{Θ = 0}^{π}

= \frac{r ʹ}{r} [\sqrt{{r^{'}}^{2} + 2 r r^{'} + r^{2}} - \sqrt{{r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} + r^{2}}] = \frac{r ʹ}{r} [\sqrt{{(r^{'} + r)}^{2}} - \sqrt{{(r^{'} - r)}^{2}}] = \frac{r^{'}}{r} (∣ r^{'} + r ∣ - ∣ r^{'} - r ∣)

Jetzt kommt die Integration über

r^{'}

unter Beachtung des Tipps:

\int_{0}^{R} d r^{'} \frac{r^{'}}{r} (∣ r^{'} + r ∣ - ∣ r^{'} - r ∣) = \underset{r^{'} < r}{\underset{⎵}{\int_{0}^{r} d r^{'} \frac{r^{'}}{r} ((r^{'} + r) - (r - r^{'}))}} + \underset{r^{'} \geq r}{\underset{⎵}{\int_{r}^{R} d r^{'} \frac{r^{'}}{r} ((r^{'} + r) - (r^{'} - r))}} = \int_{0}^{r} d r^{'} \frac{2 {r^{'}}^{2}}{r} + \int_{r}^{R} d r^{'} 2 r^{'}

= {[\frac{2 {r^{'}}^{3}}{3 r}]}_{r^{'} = 0}^{r} + {[{r^{'}}^{2}]}_{r^{'} = r}^{R} = [\frac{2 r^{3}}{3 r} - 0] + [R^{2} - r^{2}] = R^{2} - \frac{r^{2}}{3}

Zum Schluss bleibt die Integration über

ϕ

, die einer Multiplikation mit

2 π

gleichkommt, da

ϕ

überhaupt nicht mehr in dem Integranden auftaucht.

Insgesamt haben wir also:

Φ (r) = \frac{3 Q}{4 π R^{3}} \cdot 2 π (R^{2} - \frac{r^{2}}{3}) = \frac{3 Q}{2 R} (1 - \frac{r^{2}}{3 R^{2}})

Dieses Ergebnis gilt im cgs-Einheitensystem. Im SI-System taucht im Nenner noch der Faktor

4 π ε_{0}

auf.

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