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Potential eines Vektorfeldes berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Kurvenintegral, Potential, Vektorfeld

goratzi aktiv_icon

12:00 Uhr, 01.09.2013

Hey,
ich hänge an folgender Aufgabe fest:
Gegeben sei das Vektorfeld

f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

f (x, y, z) =

(2xy,

2 y + x^{2}, sinh (z))^{T}

Zeigen Sie, dass dasVektorfeld

f

ein Potential

φ

besitzt und berechnen Sie dieses.

So nun zu meinen Überlegungen:
Ich weiß, dass ein Veltorfeld ein Potential besitzt, wenn rot

f = 0

ist.

Aber wie stelle ich die Formel für rot in diesem Fall auf?

Ich weiß: rot=

(\begin{matrix} \frac{d}{d x} \\ \frac{d}{d y} \\ \frac{d}{d z} \end{matrix}) x (\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix})

Was setze ich für

u, v, w

ein?

Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CRS-55 aktiv_icon

12:08 Uhr, 01.09.2013

Die Einträge des Vektorfeldes...

Also so:

$(\begin{matrix} d / d x \\ d / d y \\ d / d z \end{matrix}) \times (\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix} d / d x \\ d / d y \\ d / d z \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 x y \\ 2 y + x^{2} \\ \sinh (z) \end{matrix}) = (\begin{matrix} [d (\sinh (z)) / d y] - [d (2 y + x^{2}) / d z] \\ [d (2 x y) / d z] - [d (\sinh (z)) / d x] \\ [\begin{matrix} d (2 y + x^{2}) / d x \end{matrix}] - [d (2 x y) / d y] \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ [2 x] - [2 x] \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0$

goratzi aktiv_icon

13:12 Uhr, 01.09.2013

Ach so, vielen Dank!

goratzi aktiv_icon

14:30 Uhr, 01.09.2013

So, jetzt muss ich den Wert des Kurvenintegrals

\int_{c} f (x) d x

berechnen, wobei

c

eine stetig differenzierbare Kurve ist, die im Punkt

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

beginnt und im Punkt

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

endet.

Wie löse ich das?
Muss ich die Punkte in

f

einsetzen?

Vielen Dank!

pwmeyer aktiv_icon

18:32 Uhr, 01.09.2013

Hallo,

es würde dem Forum ein missverständliches Hin-und-Her ersparen, wenn Du in Deinem Skript die Formel für solche Kurvenintegrale nachschlägst und dann hier dazu Deine Fragen stellst.

Vielleicht fällt Dir dann auf, dass in dieser Formel von einer Parametrisierung die Rede ist, die bei Deiner Aufgabenstellung aber nicht gegeben ist.

Dann solltest Du mal Sätze zum Thema Kurvenintegral und Potential nachschlagen.

Oder hast Du Dich bei Deiner letzten Frage nur verschrieben?

Gruß pwm

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