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Potentialtopf und Phasenraum Plott

Lehrer

Tags: Phasenraum

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10:34 Uhr, 10.06.2021

Moin, beschäftige mich zurzeit mit einer Aufgabe zu Potentialtöpfen. In diesem Bespiel haben wir ein Teilchen im Potentialtopf

V (x) = {\begin{array}{ll} V_{0} & f ü r x < - L / 2 \\ 0 & f ü r - L / 2 < x < L / 2 \\ V_{0} & f ü r L / 2 < x \end{array}

mit

V_{0} > 0

und

L > 0

.

Ich würde hier normal vorgehe wie üblich. Der Potentialkasten hat ja die Länge

L

, wobei das eine Ende des Potentialkastens bei

x = - \frac{L}{2}

und das andere Ende bei

x = \frac{L}{2}

liegt. Im Inneren ist das Potential Null und außerhalb ist es konstant

V_{0}

.
Die Energie

W > 0

des Teilchens kann nun entweder
größer ( gebundener Zustand) als die Potentialbarriere

W > V_{0}

oder kleiner

W < V_{0}

(ungebundener Zustand) sein.

Hierbei geht es um das Bestimmen der Lösungen der S-Gleichungen, für drei verschiedene Anfangsbedingungen die Lösung der Hamiltonschen Gleichungen in einem

x - p

-Diagramm (d.h., im Phasenraum) zu plotten. Hier komme ich nicht weiter, habt ihr eine Idee, wie ich das machen muss bzw. wie das im xp Diagramm aussehen würde?

Die Lösungen der Hamiltonschen Gleichungen für diesen Fall sind:

Für das Innere des Potentialtopfes:

ψ_{1} (x) = A \cos (α x) + B \sin (α x)

Bereich rechtes des Potentialtopfes:

ψ_{2} (x) = C e^{- β x}

Bereich links des Potentialtopfes:

ψ_{3} (x) = G e^{β x}

Siehe Bild (müsste das so aussehen?)

Und noch kurz zu der weiteren Aufgabe eine Frage:
Man soll diejenigen Energiewerte von gebundenen Zuständen

(0 < E < V_{0})

bestimmen, die durch die Bohr(-Wilson)-Sommerfeld-Bedingung

\frac{1}{2 π} \oint p d x = n ℏ, n \in ℕ

ausgewählt sind. (Der Kreis im Integralzeichen soll anzeigen, dass die Integration über eine Periode auszuführen ist.)

Meine Lösung wäre

E_{n} = E_{k i n} + E_{p o t} = \frac{1}{2} E_{p o t} = - \frac{m e^{4}}{e ε_{0}^{2} n^{2} h^{2}}

mit Impuls:

E_{n} = - \frac{m e^{4}}{e ε_{0}^{2} {(p_{n} 2 L)}^{2}}

Wäre das richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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